Упр.792 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Докажите, что если около трапеции можно описать окружность, то эта трапеция равнобедренная.
2. Докажите теорему о средней линии треугольника (п. 64).

Пусть трапеция $$ABCD$$ вписана в окружность, причём $$AD \parallel BC$$. Докажем, что она равнобедренная.

Так как четырёхугольник $$ABCD$$ вписанный, то суммы противоположных углов равны $$180^\circ$$:

$$\angle A+\angle C=180^\circ,$$

$$\angle B+\angle D=180^\circ.$$

Поскольку $$AD \parallel BC$$, то односторонние углы при секущей $$AB$$ дополняют друг друга до $$180^\circ$$:

$$\angle A+\angle B=180^\circ.$$

Из равенств

$$\angle A+\angle C=180^\circ$$

и

$$\angle A+\angle B=180^\circ$$

получаем $$\angle B=\angle C$$.

Аналогично, из равенств

$$\angle B+\angle D=180^\circ$$

и

$$\angle B+\angle C=180^\circ$$

следует $$\angle A=\angle D$$.

Итак, в трапеции $$ABCD$$ равны углы при каждом основании: $$\angle B=\angle C$$ и $$\angle A=\angle D$$. Значит, трапеция $$ABCD$$ равнобедренная.

Ответ

Если около трапеции можно описать окружность, то эта трапеция равнобедренная.