Упр.791 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 8 класс, Просвещение: Докажите, что если около параллелограмма можно описать окружность, то этот параллелограмм — прямоугольник. Докажите, что отрезки, соединяющие середины противоположных сторон произвольного четырёхугольника, точкой пересечения делятся пополам.

1) Пусть четырёхугольник $$ABCD$$ вписан в окружность и одновременно является параллелограммом. Тогда как вписанный четырёхугольник он обладает свойством:

$$\angle A+\angle C=180^\circ,\qquad \angle B+\angle D=180^\circ.$$

С другой стороны, в параллелограмме противоположные углы равны:

$$\angle A=\angle C,\qquad \angle B=\angle D.$$

Следовательно,

$$2\angle A=180^\circ,\qquad 2\angle B=180^\circ,$$

откуда

$$\angle A=\angle B=\angle C=\angle D=90^\circ.$$

Значит, $$ABCD$$ — прямоугольник.

2) Докажем, что отрезки, соединяющие середины противоположных сторон произвольного четырёхугольника, делятся точкой пересечения пополам.

Пусть $$E$$ и $$F$$ — середины сторон $$AB$$ и $$CD$$, а $$M$$ и $$N$$ — середины сторон $$AD$$ и $$BC$$ соответственно. Обозначим через $$O$$ точку пересечения отрезков $$EF$$ и $$MN$$.

Так как $$E$$ и $$F$$ — середины, то

$$\overrightarrow{AE}=\frac12\overrightarrow{AB},\qquad \overrightarrow{CF}=\frac12\overrightarrow{CD},$$

а также

$$\overrightarrow{AM}=\frac12\overrightarrow{AD},\qquad \overrightarrow{BN}=\frac12\overrightarrow{BC}.$$

Рассмотрим векторы диагонали $$\overrightarrow{AC}$$:

$$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DC}.$$

Тогда

$$2\overrightarrow{AE}+2\overrightarrow{BN}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC},$$

и

$$2\overrightarrow{AM}+2\overrightarrow{DF}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AC}.$$

Отсюда

$$\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{BN}=\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{DF}.$$

Следовательно, четырёхугольник, составленный из векторов к серединам противоположных сторон, имеет равные и параллельные противоположные стороны, то есть соответствующие отрезки пересекаются и делятся точкой пересечения пополам.

Итак, если $$O$$ — точка пересечения $$EF$$ и $$MN$$, то

$$EO=OF,\qquad MO=ON.$$

Ответ

Если около параллелограмма можно описать окружность, то этот параллелограмм — прямоугольник. Отрезки, соединяющие середины противоположных сторон произвольного четырёхугольника, точкой пересечения делятся пополам.