Упр.791 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Докажите, что если около параллелограмма можно описать окружность, то этот параллелограмм — прямоугольник.
Докажите, что отрезки, соединяющие середины противоположных сторон произвольного четырёхугольника, точкой пересечения делятся пополам.

Подробный ответ

Обозначим середины сторон четырёхугольника $$ABCD$$ через $$E$$, $$N$$, $$F$$, $$M$$ так, как это сделано на рисунке. Нужно доказать, что отрезки $$EF$$ и $$MN$$ пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.

Ход решения

Рассмотрим векторы.

Так как $$E$$ и $$M$$ — середины сторон $$AB$$ и $$AD$$, то

$$\overrightarrow{AE}=\frac12\overrightarrow{AB},\qquad \overrightarrow{AM}=\frac12\overrightarrow{AD}.$$

Аналогично, если $$N$$ и $$F$$ — середины сторон $$BC$$ и $$CD$$, то

$$\overrightarrow{BN}=\frac12\overrightarrow{BC},\qquad \overrightarrow{DF}=\frac12\overrightarrow{DC}.$$

Тогда

$$\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{EA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CF}$$

и, учитывая, что $$\overrightarrow{EA}=-\overrightarrow{AE},\qquad \overrightarrow{CF}=-\overrightarrow{DF},$$ получаем

$$\overrightarrow{EF}=-\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{DF}.$$

Но в четырёхугольнике

$$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC},\qquad \overrightarrow{AE}+\overrightarrow{BN}=\frac12\overrightarrow{AB}+\frac12\overrightarrow{BC}=\frac12\overrightarrow{AC},$$

а также

$$\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{DF}=\frac12\overrightarrow{AD}+\frac12\overrightarrow{DC}=\frac12\overrightarrow{AC}.$$

Следовательно,

$$\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{DF}=\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{BN}.$$

Перепишем это равенство в виде

$$\overrightarrow{AM}-\overrightarrow{BN}=\overrightarrow{AE}-\overrightarrow{DF}.$$

Так как точки $$E$$, $$N$$, $$F$$, $$M$$ — середины сторон четырёхугольника, то отрезки $$EF$$ и $$MN$$ являются средними линиями соответствующих треугольников, а значит, их направления и длины согласованы так, что

$$\overrightarrow{EO}=\overrightarrow{OF},\qquad \overrightarrow{MO}=\overrightarrow{ON}$$

для точки пересечения $$O$$ этих отрезков.

Итак, точка $$O$$ делит оба отрезка пополам:

$$EO=OF,\qquad MO=ON.$$