Упр.790 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 8 класс, Просвещение: Докажите, что можно описать окружность: а) около любого прямоугольника; б) около любой равнобедренной трапеции. Докажите, что отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, параллелен её основаниям и равен полуразности оснований.

а) В прямоугольнике все углы равны $$90^\circ$$. Тогда сумма противоположных углов равна $$90^\circ+90^\circ=180^\circ$$. А если в четырёхугольнике суммы противоположных углов равны $$180^\circ$$, то около него можно описать окружность. Значит, около любого прямоугольника можно описать окружность.

б) В равнобедренной трапеции углы при каждом основании равны, поэтому суммы противоположных углов равны $$180^\circ$$. Следовательно, около любой равнобедренной трапеции можно описать окружность.

в) Пусть $$ABCD$$ — трапеция, $$AD \parallel BC$$, $$AC$$ и $$BD$$ — диагонали, $$M$$ и $$N$$ — середины диагоналей соответственно.

Рассмотрим векторы. Так как $$M$$ — середина $$AC$$, а $$N$$ — середина $$BD$$, то

$$\overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}, \qquad \overrightarrow{BN}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BD}.$$

Найдём вектор $$\overrightarrow{MN}$$:

$$ \overrightarrow{MN} =\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DN}. $$

С другой стороны,

$$ \overrightarrow{MN} =\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BN}. $$

Сложим эти равенства:

$$ 2\overrightarrow{MN} =\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{DN}+\overrightarrow{BN}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CB}. $$

Так как $$M$$ и $$N$$ — середины диагоналей, то

$$\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MC}=\vec{0}, \qquad \overrightarrow{DN}+\overrightarrow{BN}=\vec{0}.$$

Тогда

$$ 2\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CB}, $$

откуда

$$ \overrightarrow{MN}=\frac{\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CB}}{2}. $$

Так как $$AD \parallel BC$$, то векторы $$\overrightarrow{AD}$$ и $$\overrightarrow{CB}$$ коллинеарны и направлены противоположно, поэтому

$$ \overrightarrow{MN} \parallel AD \parallel BC. $$

Кроме того,

$$ MN=\frac{1}{2}\,|AD-BC|. $$

Следовательно, отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, параллелен её основаниям и равен половине разности оснований.

Ответ

Около любого прямоугольника и около любой равнобедренной трапеции можно описать окружность. Отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, параллелен основаниям и равен $$\frac{1}{2}(AD-BC)$$.