Упр.789 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Докажите, что в любой ромб можно вписать окружность.
2. На сторонах треугольника $$ABC$$ построены параллелограммы $$ABB_1A_2$$, $$BCC_1B_2$$, $$ACC_2A_1$$. Докажите, что существует треугольник, стороны которого соответственно параллельны и равны отрезкам $$A_1A_2$$, $$B_1B_2$$ и $$C_1C_2$$.

Обозначим через $$\vec{a}=\overrightarrow{A_1A_2},\quad \vec{b}=\overrightarrow{B_1B_2},\quad \vec{c}=\overrightarrow{C_1C_2}.$$

Так как $$ABB_1A_2,$$ $$BCC_1B_2$$ и $$ACC_2A_1$$ — параллелограммы, то

$$\overrightarrow{A_1A_2}=\overrightarrow{AA_2}+\overrightarrow{A_1A}=\overrightarrow{BB_1}+\overrightarrow{A_1A},$$
$$\overrightarrow{B_1B_2}=\overrightarrow{BB_2}+\overrightarrow{B_1B}=\overrightarrow{CC_1}+\overrightarrow{B_1B},$$
$$\overrightarrow{C_1C_2}=\overrightarrow{CC_2}+\overrightarrow{C_1C}=\overrightarrow{AA_1}+\overrightarrow{C_1C}.$$

Сложим эти векторы:

$$\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}= (\overrightarrow{AA_1}+\overrightarrow{A_1A}) +(\overrightarrow{BB_1}+\overrightarrow{B_1B}) +(\overrightarrow{CC_1}+\overrightarrow{C_1C})=\vec{0}.$$

Значит, для трёх векторов $$\vec{a},\vec{b},\vec{c}$$ выполняется условие

$$\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=\vec{0}.$$

А это означает, что можно построить треугольник, стороны которого соответственно параллельны и равны данным векторам: если последовательно отложить векторы $$\vec{a}$$ и $$\vec{b},$$ то третий вектор $$\vec{c}$$ замкнёт ломаную в треугольник.

Следовательно, существует треугольник, стороны которого соответственно параллельны и равны отрезкам $$A_1A_2,$$ $$B_1B_2$$ и $$C_1C_2.$$