Упр.789 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 8 класс, Просвещение: Докажите, что в любой ромб можно вписать окружность. На сторонах треугольника ABC построены параллелограммы АВВ1А2, ВСС1В2, АСС2А1. Докажите, что существует треугольник, стороны которого соответственно параллельны и равны отрезкам А1А2, В1В2 и С1С2.

Подробный ответ

Пусть $$ABCD$$ — ромб. Тогда по определению ромба

$$AB=BC=CD=AD.$$

Для четырёхугольника, в который можно вписать окружность, необходимо и достаточно, чтобы суммы длин противоположных сторон были равны:

$$AB+CD=BC+AD.$$

В ромбе это условие выполняется, так как

$$AB+CD=AB+AB=2AB,$$

$$BC+AD=AB+AB=2AB.$$

Следовательно,

$$AB+CD=BC+AD,$$

значит, в любой ромб можно вписать окружность.

Ответ

В любой ромб можно вписать окружность.

Ход решения

Обозначим

$$\vec{A_1A_2}=\vec{a},\quad \vec{B_1B_2}=\vec{b},\quad \vec{C_1C_2}=\vec{c}.$$

Так как $$ABB_1A_2,$$ $$BCC_1B_2$$ и $$ACC_2A_1$$ — параллелограммы, то

$$\vec{A_1A_2}=\vec{BB_1},\quad \vec{B_1B_2}=\vec{CC_1},\quad \vec{C_1C_2}=\vec{AA_1}.$$

Кроме того, по правилу сложения векторов

$$\vec{A_1A_2}=\vec{A_1A}+\vec{AA_2},$$

$$\vec{B_1B_2}=\vec{B_1B}+\vec{BB_2},$$

$$\vec{C_1C_2}=\vec{C_1C}+\vec{CC_2}.$$

Складывая эти равенства, получаем

$$\vec{A_1A_2}+\vec{B_1B_2}+\vec{C_1C_2}=\vec{0}.$$

А значит, если отложить векторы $$\vec{A_1A_2},$$ $$\vec{B_1B_2}$$ и $$\vec{C_1C_2}$$ последовательно, то получится замкнутый треугольник. Следовательно, существует треугольник, стороны которого соответственно параллельны и равны отрезкам $$A_1A_2,$$ $$B_1B_2$$ и $$C_1C_2.$$