Упр.788 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Сумма двух противоположных сторон описанного четырёхугольника равна $$10\text{ см}$$, а его площадь — $$12\text{ см}^2$$. Найдите радиус окружности, вписанной в этот четырёхугольник.
2. Дан произвольный треугольник $$ABC$$. Докажите, что существует треугольник, стороны которого соответственно параллельны и равны медианам треугольника $$ABC$$.

Пусть в четырёхугольник $$ABCD$$ можно вписать окружность. Тогда по свойству описанного четырёхугольника сумма противоположных сторон равна:

$$AB+CD=BC+AD=10\text{ см}.$$

Периметр четырёхугольника:

$$P=AB+BC+CD+AD=(AB+CD)+(BC+AD)=10+10=20\text{ см}.$$

Площадь описанного четырёхугольника выражается формулой

$$S=\frac12Pr,$$

где $$r$$ — радиус вписанной окружности. Тогда

$$12=\frac12\cdot 20\cdot r,$$

откуда

$$r=\frac{12}{10}=1{,}2\text{ см}.$$

Ответ: $$1{,}2\text{ см}.$$