Упр.788 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 8 класс, Просвещение: Сумма двух противоположных сторон описанного четырёхугольника равна 10 см, а его площадь — 12 см2. Найдите радиус окружности, вписанной в этот четырёхугольник. Дан произвольный треугольник ABC. Докажите, что существует треугольник, стороны которого соответственно параллельны и равны медианам треугольника ABC.

Подробный ответ

Обозначим через $$ABCD$$ описанный четырёхугольник. Тогда по свойству описанного четырёхугольника суммы противоположных сторон равны:

$$AB+CD=BC+AD.$$

По условию $$AB+CD=10$$ см, значит

$$P_{ABCD}=AB+BC+CD+DA=(AB+CD)+(BC+DA)=10+10=20\text{ см}.$$

Площадь четырёхугольника с вписанной окружностью выражается формулой

$$S=\frac12Pr,$$

где $$P$$ — периметр, $$r$$ — радиус вписанной окружности. Тогда

$$12=\frac12\cdot 20\cdot r,$$

откуда

$$r=\frac{12}{10}=1{,}2\text{ см}.$$

Теперь докажем второе утверждение. Пусть в треугольнике $$ABC$$ точки $$A_1,\ B_1,\ C_1$$ — середины сторон $$BC,\ CA,\ AB$$ соответственно. Тогда $$AA_1,\ BB_1,\ CC_1$$ — медианы.

По свойству медианы треугольника:

$$\overrightarrow{AA_1}=\frac12\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right),$$

$$\overrightarrow{BB_1}=\frac12\left(\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BA}\right),$$

$$\overrightarrow{CC_1}=\frac12\left(\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}\right).$$

Сложим эти векторы:

$$ \overrightarrow{AA_1}+\overrightarrow{BB_1}+\overrightarrow{CC_1} =\frac12\Bigl((\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BA})+(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CA})+(\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CB})\Bigr)=\vec 0. $$

Значит, векторы $$\overrightarrow{AA_1},\ \overrightarrow{BB_1},\ \overrightarrow{CC_1}$$ можно расположить последовательно так, чтобы они образовали замкнутый треугольник. Следовательно, существует треугольник, стороны которого соответственно параллельны и равны медианам треугольника $$ABC$$.