Упр.786 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 8 класс, Просвещение: Докажите, что площадь описанного многоугольника равна половине произведения его периметра на радиус вписанной окружности. Отрезки АА1, ВВ1 и СС1 — медианы треугольника ABC. Выразите векторы АА1, ВВ1, СС1 через векторы а = АС и b = АВ.

Пусть стороны описанного многоугольника равны $$a_1,a_2,\dots,a_n$$, а его площадь равна $$S$$. Соединим центр вписанной окружности с вершинами многоугольника. Тогда многоугольник разобьётся на $$n$$ треугольников, у каждого из которых основание равно стороне многоугольника, а высота равна радиусу вписанной окружности $$r$$.

Следовательно, площадь всего многоугольника равна сумме площадей этих треугольников:

$$ S=S_1+S_2+\dots+S_n $$

и

$$ S_1=\frac12 a_1r,\quad S_2=\frac12 a_2r,\quad \dots,\quad S_n=\frac12 a_nr. $$

Тогда

$$ S=\frac12 a_1r+\frac12 a_2r+\dots+\frac12 a_nr =\frac12 r(a_1+a_2+\dots+a_n). $$

Но $$a_1+a_2+\dots+a_n=P$$ — периметр многоугольника. Значит,

$$ S=\frac12 Pr. $$

Теперь выразим медианы треугольника $$ABC$$ через векторы $$\vec a=\overrightarrow{AC}$$ и $$\vec b=\overrightarrow{AB}$$.

Так как $$A_1$$ — середина стороны $$BC$$, то

$$ \overrightarrow{BA_1}=\frac12\overrightarrow{BC}. $$

А поскольку

$$ \overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}=-\vec b+\vec a, $$

то

$$ \overrightarrow{AA_1}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BA_1} =\vec b+\frac12(\vec a-\vec b) =\frac12\vec a+\frac12\vec b. $$

Аналогично, так как $$B_1$$ — середина $$AC$$, имеем

$$ \overrightarrow{AB_1}=\frac12\overrightarrow{AC}=\frac12\vec a, $$

поэтому

$$ \overrightarrow{BB_1}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AB_1} =-\vec b+\frac12\vec a. $$

Наконец, $$C_1$$ — середина $$AB$$, значит

$$ \overrightarrow{AC_1}=\frac12\overrightarrow{AB}=\frac12\vec b, $$

и тогда

$$ \overrightarrow{CC_1}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AC_1} =-\vec a+\frac12\vec b. $$

Ответ

$$S=\frac12Pr.$$

$$ \overrightarrow{AA_1}=\frac12\vec a+\frac12\vec b,\quad \overrightarrow{BB_1}=\frac12\vec a-\vec b,\quad \overrightarrow{CC_1}=-\vec a+\frac12\vec b. $$