Упр.786 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Докажите, что площадь описанного многоугольника равна половине произведения его периметра на радиус вписанной окружности.
- Отрезки $$AA_1$$, $$BB_1$$ и $$CC_1$$ — медианы треугольника $$ABC$$. Выразите векторы $$AA_1$$, $$BB_1$$, $$CC_1$$ через векторы $$a=AC$$ и $$b=AB$$.
Пусть $$\vec a=\overrightarrow{AC},\qquad \vec b=\overrightarrow{AB}.$$
Так как $$A_1,\ B_1,\ C_1$$ — середины сторон треугольника, то
$$\overrightarrow{AB_1}=\frac12\overrightarrow{AC}=\frac12\vec a,$$
$$\overrightarrow{BC_1}=\frac12\overrightarrow{BA}=-\frac12\vec b,$$
$$\overrightarrow{CA_1}=\frac12\overrightarrow{CB}=\frac12(\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AB})=\frac12(-\vec a+\vec b).$$
Теперь выразим медианы:
$$\overrightarrow{BB_1}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AB_1}=-\vec b+\frac12\vec a,$$
$$\overrightarrow{CC_1}=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BC_1}=(\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AB})-\frac12\vec b=-\vec a+\vec b-\frac12\vec b=\vec a-\frac12\vec b,$$
$$\overrightarrow{AA_1}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BA_1}=\vec b+\frac12\overrightarrow{BC}=\vec b+\frac12(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC})=\vec b+\frac12(-\vec b+\vec a)=\frac12\vec a+\frac12\vec b.$$
Ответ: $$\overrightarrow{AA_1}=\frac12\vec a+\frac12\vec b,\qquad \overrightarrow{BB_1}=\frac12\vec a-\vec b,\qquad \overrightarrow{CC_1}=\vec a-\frac12\vec b.$$
