Упр.785 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Докажите, что если в параллелограмм можно вписать окружность, то этот параллелограмм — ромб.
2. Точки $$M$$ и $$N$$ — середины диагоналей $$AC$$ и $$BD$$ четырёхугольника $$ABCD$$. Докажите, что $$MN=\frac{1}{2}(AD+CB)$$.

Пусть в параллелограмм $$ABCD$$ можно вписать окружность. Тогда для любого четырёхугольника, в который можно вписать окружность, суммы длин противоположных сторон равны:

$$AB+CD=BC+AD.$$

Но в параллелограмме $$AB=CD$$ и $$BC=AD$$. Подставим это в равенство:

$$AB+AB=BC+BC,$$

то есть

$$2AB=2BC,$$

следовательно,

$$AB=BC.$$

В параллелограмме противоположные стороны равны, значит

$$AB=CD,\quad BC=AD.$$

Так как ещё и $$AB=BC$$, получаем

$$AB=BC=CD=AD.$$

Следовательно, все стороны параллелограмма равны, значит $$ABCD$$ — ромб.

Ответ

$$ABCD$$ — ромб.