Упр.785 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 8 класс, Просвещение: Докажите, что если в параллелограмм можно вписать окружность, то этот параллелограмм — ромб. Точки М и N — середины диагоналей АС и BD четырёхугольника ABCD. Докажите, что MN = 1/2(AD + CB).

Подробный ответ

Пусть в параллелограмм $$ABCD$$ можно вписать окружность. Тогда по свойству четырёхугольника, в который можно вписать окружность, суммы длин противоположных сторон равны:

$$AB+CD=BC+AD.$$

Так как $$ABCD$$ — параллелограмм, то $$AB=CD$$ и $$BC=AD$$. Подставим это в равенство:

$$AB+AB=BC+BC,$$

$$2AB=2BC,$$

$$AB=BC.$$

В параллелограмме противоположные стороны равны, значит

$$AB=CD,\quad BC=AD.$$

Следовательно,

$$AB=BC=CD=AD,$$

то есть все стороны параллелограмма равны. Значит, $$ABCD$$ — ромб.

Теперь докажем второе утверждение. Пусть $$M$$ и $$N$$ — середины диагоналей $$AC$$ и $$BD$$ соответственно, то есть

$$AM=MC,\quad BN=ND.$$

Рассмотрим вектор $$\overrightarrow{MN}$$. Запишем его через путь $$M \to A \to D \to N$$:

$$\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DN}.$$

Аналогично, через путь $$M \to C \to B \to N$$:

$$\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BN}.$$

Сложим эти равенства:

$$2\overrightarrow{MN}=(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MC})+(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CB})+(\overrightarrow{DN}+\overrightarrow{BN}).$$

Так как $$M$$ — середина $$AC$$, то $$\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{0}$$, а так как $$N$$ — середина $$BD$$, то $$\overrightarrow{DN}+\overrightarrow{BN}=\overrightarrow{0}$$. Тогда

$$2\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CB}.$$

Следовательно,

$$\overrightarrow{MN}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CB}\right).$$