Упр.782 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Стороны угла $$O$$ касаются каждой из двух окружностей, имеющих общую касательную в точке $$A$$. Докажите, что центры этих окружностей лежат на прямой $$OA$$.
2. В параллелограмме $$ABCD$$ точка $$E$$ — середина стороны $$AD$$, точка $$G$$ — середина стороны $$BC$$. Выразите векторы $$\overrightarrow{EC}$$ и $$\overrightarrow{AG}$$ через векторы $$\overrightarrow{DC}=\vec{a}$$ и $$\overrightarrow{BC}=\vec{b}$$.

Точка касания двух окружностей лежит на прямой, соединяющей их центры. Значит, если обозначить центры окружностей через $$O_1$$ и $$O_2,$$ то

$$A \in O_1O_2.$$

Кроме того, стороны угла $$O$$ касаются обеих окружностей. Центр окружности, касающейся сторон угла, лежит на биссектрисе этого угла. Следовательно, оба центра $$O_1$$ и $$O_2$$ лежат на биссектрисе угла $$O$$.

Но точка $$A$$ также принадлежит этой биссектрисе, так как она является общей точкой касания окружностей, расположенных между сторонами угла. Значит, прямая, проходящая через точки $$O_1$$, $$A$$ и $$O_2$$, одна и та же.

Итак, центры данных окружностей лежат на прямой $$OA$$.