Упр.781 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Пользуясь утверждением, сформулированным в задаче 668, постройте отрезок, равный среднему пропорциональному для двух данных отрезков.
2. Пусть $$x=m+n$$, $$y=m-n$$. Выразите через $$m$$ и $$n$$ векторы: а) $$2x-2y$$; б) $$2x+\frac{1}{2}y$$; в) $$-x-\frac{1}{3}y$$.

Пусть данные отрезки равны $$AB=a$$ и $$BC=b$$. Построим отрезок, равный среднему пропорциональному этих отрезков, то есть $$x=\sqrt{ab}$$.

1. На одной прямой последовательно отложим отрезки $$AB$$ и $$BC$$, тогда $$AC=a+b$$.

2. Найдём середину отрезка $$AC$$ и обозначим её через $$O$$. Построим окружность с центром в точке $$O$$ и радиусом $$OA$$.

3. В точке $$B$$ восстановим перпендикуляр к прямой $$AC$$. Пусть он пересечёт окружность в точке $$D$$.

4. Тогда $$BD$$ — искомый отрезок.

Действительно, в прямоугольном треугольнике $$ABD$$ гипотенуза $$AD$$ равна радиусу окружности, то есть $$AD=OA$$. Так как $$O$$ — середина $$AC$$, то

$$OA=\frac{AC}{2}=\frac{a+b}{2}.$$

Кроме того, $$AB=a$$, а $$BC=b$$, значит

$$OB=\frac{BC-AB}{2}$$

не используется напрямую; удобнее рассмотреть отрезки на диаметре окружности: по теореме о высоте в прямоугольном треугольнике получаем

$$BD^2=AB\cdot BC.$$

Следовательно,

$$BD=\sqrt{ab},$$

то есть построенный отрезок является средним пропорциональным для данных отрезков.