Упр.780 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 8 класс, Просвещение: Докажите, что перпендикуляр, проведённый из какой-нибудь точки окружности к диаметру, есть среднее пропорциональное для отрезков, на которые основание перпендикуляра делит диаметр. Докажите, что для любого вектора а справедливы равенства: а) 1xа = а; б) (-1) x а = -а.

Подробный ответ

1) Обозначим центр окружности через $$O$$, диаметр — $$AB$$, точку пересечения перпендикуляра с диаметром — $$E$$, а точки пересечения перпендикуляра с окружностью — $$C$$ и $$D$$.

Так как $$CO=OD=r$$, то $$\triangle COD$$ равнобедренный.

Поскольку $$AB \perp CD$$, то $$OE \perp CD$$. В равнобедренном треугольнике высота, проведённая из вершины к основанию, является также медианой. Значит, $$E$$ — середина отрезка $$CD$$, то есть $$CE=ED$$.

По свойству хорд окружности:

$$AE \cdot EB = CE \cdot ED.$$

Так как $$CE=ED$$, получаем:

$$AE \cdot EB = CE^2.$$

Следовательно,

$$CE=\sqrt{AE \cdot EB}.$$

Значит, перпендикуляр, проведённый из точки окружности к диаметру, является средним пропорциональным для отрезков $$AE$$ и $$EB$$.

2) Для любого вектора $$\vec a$$:

а) $$1 \cdot \vec a=\vec a$$, так как умножение вектора на положительное число $$1$$ не изменяет ни его направление, ни длину.

б) $$(-1)\cdot \vec a=-\vec a$$, так как умножение вектора на отрицательное число меняет его направление на противоположное, а длина остаётся той же.