Упр.780 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Докажите, что перпендикуляр, проведённый из какой-нибудь точки окружности к диаметру, есть среднее пропорциональное для отрезков, на которые основание перпендикуляра делит диаметр.
Докажите, что для любого вектора $$\mathbf{a}$$ справедливы равенства: а) $$1 \times \mathbf{a} = \mathbf{a}$$; б) $$(-1) \times \mathbf{a} = -\mathbf{a}$$.

Подробный ответ

Пусть $$AB$$ — диаметр окружности, $$CD$$ — перпендикуляр к нему, причём $$C$$ и $$D$$ лежат на окружности, а $$E$$ — точка пересечения $$AB$$ и $$CD$$.

Так как $$AB$$ — диаметр окружности, то центр окружности лежит на прямой $$AB$$. Обозначим его через $$O$$. Тогда $$OC=OD$$ как радиусы одной окружности, значит, $$\triangle COD$$ равнобедренный.

Поскольку $$AB \perp CD$$, то $$OE \perp CD$$. В равнобедренном треугольнике высота, проведённая из вершины к основанию, является также медианой. Следовательно, $$E$$ — середина отрезка $$CD$$, то есть $$CE=ED$$.

Теперь рассмотрим прямоугольные треугольники $$\triangle AEC$$ и $$\triangle BED$$. У них

$$\angle AEC=\angle BED=90^\circ,$$

а также

$$\angle ACE=\angle BDE,$$

так как эти углы опираются на равные дуги или, что то же самое, являются углами при равных хордах в симметричном расположении относительно центра окружности. Значит, треугольники подобны, и для соответствующих сторон получаем

$$\frac{CE}{AE}=\frac{ED}{CE}.$$

Отсюда

$$CE^2=AE\cdot ED.$$

Так как $$CE=ED$$, то

$$CE^2=AE\cdot EB,$$

то есть

$$CE=\sqrt{AE\cdot EB}.$$

Следовательно, перпендикуляр, проведённый из точки окружности к диаметру, является средним пропорциональным для отрезков, на которые основание перпендикуляра делит диаметр.