Упр.779 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 8 класс, Просвещение: Вершины треугольника ABC лежат на окружности. Докажите, что если АВ — диаметр окружности, то уголC > уголA и уголC > уголB. Дан вектор р=3а, где а не равен 0. Как направлен каждый из векторов а, -а, 1/2а, -2а, 6а по отношению к вектору p? Выразите длины этих векторов через |р|.
1) Так как $$AB$$ — диаметр окружности, то вписанный угол, опирающийся на дугу $$AB$$, равен $$90^\circ$$. Значит,
$$\angle ACB=90^\circ.$$
Тогда в треугольнике $$ABC$$
$$\angle A+\angle B=90^\circ.$$
Следовательно, каждый из углов $$\angle A$$ и $$\angle B$$ меньше $$90^\circ$$, а значит
$$\angle C>\angle A,\qquad \angle C>\angle B.$$
2) Пусть $$\vec p=3\vec a$$, где $$\vec a\ne \vec 0$$. Тогда вектор $$\vec p$$ сонаправлен с $$\vec a$$, так как коэффициент $$3>0$$.
Рассмотрим остальные векторы:
- $$\vec a$$ — сонаправлен с $$\vec p$$;
- $$-\vec a$$ — противоположно направлен $$\vec p$$;
- $$\frac12\vec a$$ — сонаправлен с $$\vec p$$;
- $$-2\vec a$$ — противоположно направлен $$\vec p$$;
- $$6\vec a$$ — сонаправлен с $$\vec p$$.
Найдём длины этих векторов через $$|\vec p|$$. Из равенства $$\vec p=3\vec a$$ получаем
$$|\vec p|=3|\vec a|,\qquad |\vec a|=\frac{|\vec p|}{3}.$$
Тогда
$$ \left|\vec a\right|=\frac{|\vec p|}{3},\qquad \left|-\vec a\right|=\frac{|\vec p|}{3},\qquad \left|\frac12\vec a\right|=\frac12|\vec a|=\frac{|\vec p|}{6}, $$
$$ \left|-2\vec a\right|=2|\vec a|=\frac{2}{3}|\vec p|,\qquad |6\vec a|=6|\vec a|=2|\vec p|. $$
Ответ
$$\angle C>\angle A,\ \angle C>\angle B.$$
По отношению к $$\vec p$$: $$\vec a$$, $$\frac12\vec a$$, $$6\vec a$$ — сонаправлены; $$-\vec a$$, $$-2\vec a$$ — противоположно направлены.
$$|\vec a|=\frac{|\vec p|}{3},\quad |-\vec a|=\frac{|\vec p|}{3},\quad \left|\frac12\vec a\right|=\frac{|\vec p|}{6},\quad |-2\vec a|=\frac{2}{3}|\vec p|,\quad |6\vec a|=2|\vec p|.$$
