Упр.778 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 8 класс, Просвещение: Отрезок АС — диаметр окружности, АВ — хорда, МА — касательная, угол МАВ острый. Докажите, что угол MAB = уголACB. Начертите попарно неколлинеарные векторы а, b и с. Постройте векторы: а) 2а + 3b — 4с; б) 1/2а-b + 1/3с.

1) Так как $$AC$$ — диаметр окружности, то вписанный угол, опирающийся на дугу $$AC$$, прямой:

$$\angle ABC=\frac{1}{2}\overset{\frown}{AC}=\frac{1}{2}\cdot 180^\circ=90^\circ.$$

В треугольнике $$ABC$$ получаем:

$$\angle BCA=90^\circ-\angle BAC.$$

Поскольку $$AM$$ — касательная к окружности в точке $$A$$, то радиус $$OA$$ перпендикулярен касательной, а значит $$AC\perp AM$$. Следовательно,

$$\angle MAB=90^\circ-\angle BAC.$$

Итак,

$$\angle MAB=\angle BCA.$$

Но в треугольнике $$ABC$$ угол $$\angle BCA$$ и угол $$\angle ACB$$ — это один и тот же угол при вершине $$C$$, поэтому

$$\angle MAB=\angle ACB.$$

Что и требовалось доказать.

2) Чтобы построить векторы $$2\vec a+3\vec b-4\vec c$$ и $$\frac12\vec a-\vec b+\frac13\vec c$$, последовательно откладываем заданные векторы и их кратные в нужных направлениях, а затем соединяем начало и конец полученной ломаной.

Для вектора $$2\vec a+3\vec b-4\vec c$$: откладываем два вектора, равных $$\vec a$$, затем три вектора, равных $$\vec b$$, и четыре вектора, противоположных $$\vec c$$. Полученный результирующий вектор и есть искомый.

Для вектора $$\frac12\vec a-\vec b+\frac13\vec c$$: откладываем половину вектора $$\vec a$$, затем вектор, противоположный $$\vec b$$, и затем треть вектора $$\vec c$$. Результирующий вектор — искомый.

Ответ

$$\angle MAB=\angle ACB.$$ Векторы $$2\vec a+3\vec b-4\vec c$$ и $$\frac12\vec a-\vec b+\frac13\vec c$$ построены последовательным откладыванием соответствующих векторов.