Упр.775 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 8 класс, Просвещение: Через точку, лежащую вне окружности, проведены две секущие, образующие угол в 32°. Большая дуга окружности, заключённая между сторонами этого угла, равна 100°. Найдите меньшую дугу. Начертите два неколлинеарных вектора р и q, начала которых не совпадают, и отметьте какую-нибудь точку О. От точки О отложите векторы, равные 2р и 1/2q.

Подробный ответ

Обозначим меньшую дугу через $$x$$. Тогда сумма большой и меньшей дуг окружности равна $$360^\circ$$, значит

$$x=360^\circ-100^\circ=260^\circ.$$

Угол между двумя секущими, проведёнными из точки вне окружности, равен половине разности соответствующих дуг:

$$\angle = \frac{1}{2}(260^\circ-100^\circ)=80^\circ.$$

Но по условию этот угол равен $$32^\circ$$, значит в тексте задачи имеется несоответствие. По рисунку и приведённому решению требуется найти дугу $$BD$$ через вписанные углы:

$$\angle CBE=\frac{1}{2}\overset{\frown}{CE}=\frac{1}{2}\cdot 100^\circ=50^\circ.$$

Так как точки $$A, B, C$$ лежат на одной секущей, то

$$\angle ABE=180^\circ-50^\circ=130^\circ.$$

В треугольнике $$ABE$$ имеем

$$\angle BEA=180^\circ-130^\circ-32^\circ=18^\circ.$$

Тогда дуга $$BD$$, на которую опирается вписанный угол $$\angle BEA$$, равна

$$\overset{\frown}{BD}=2\angle BEA=2\cdot 18^\circ=36^\circ.$$

Для построения векторов нужно из точки $$O$$ отложить вектор, равный $$2\vec p$$, то есть сонаправленный с $$\vec p$$ и вдвое большей длины, и вектор, равный $$\frac12\vec q$$, то есть сонаправленный с $$\vec q$$ и вдвое меньшей длины.