Упр.773 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Через точку $$A$$ к данной окружности проведены касательная $$AB$$ ($$B$$ — точка касания) и секущая $$AD$$, проходящая через центр $$O$$ ($$D$$ — точка на окружности, $$O$$ лежит между $$A$$ и $$D$$). Найдите угол $$BAD$$ и угол $$ADB$$, если $$BD=110^\circ20’$$.
Докажите, что для любых двух векторов $$x$$ и $$y$$ справедливо неравенство $$|x-y|<|x|+|y|$$. В каком случае $$|x-y|=|x|+|y|$$?

Подробный ответ

Пусть $$K$$ — вторая точка пересечения секущей $$AD$$ с окружностью. Тогда точки $$A, K, O, D$$ лежат на одной прямой, а $$O$$ — центр окружности.

Рассмотрим вписанный угол $$\angle BKD$$. Он опирается на дугу $$BD$$, поэтому

$$\angle BKD=\frac{1}{2}\overset{\frown}{BD}=\frac{1}{2}\cdot 110^\circ 20′ = 55^\circ 10′.$$

Так как прямая $$AD$$ проходит через центр $$O$$, то $$KD$$ — диаметр окружности. Следовательно, дуга $$KD$$ равна $$180^\circ$$, а вписанный угол $$\angle DBK$$, опирающийся на эту дугу, равен

$$\angle DBK=\frac{1}{2}\cdot 180^\circ=90^\circ.$$

В треугольнике $$DBK$$ найдём угол при вершине $$D$$:

$$\angle BDK=180^\circ-\angle BKD-\angle DBK$$

$$\angle BDK=180^\circ-55^\circ 10′-90^\circ=34^\circ 50′.$$

Но точки $$A, K, D$$ лежат на одной прямой, значит $$\angle ADB=\angle BDK=34^\circ 50′.$$

Теперь рассмотрим треугольник $$BOD$$. Так как $$BO=OD$$ как радиусы окружности, то он равнобедренный, и его углы при основании равны:

$$\angle DBO=\angle BDO=34^\circ 50′.$$

Тогда

$$\angle DBA=\angle DBO+\angle OBA=34^\circ 50’+90^\circ=124^\circ 50′.$$

В треугольнике $$ABD$$ получаем

$$\angle BAD=180^\circ-(\angle DBA+\angle ADB)$$

$$\angle BAD=180^\circ-(124^\circ 50’+34^\circ 50′)=20^\circ 20′.$$