Упр.769 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 8 класс, Просвещение: Хорда АВ стягивает дугу, равную 115°, а хорда АС — дугу в 43°. Найдите угол ВАС. Отрезок ВВ1 — медиана треугольника ABC. Выразите векторы В1С, ВВ1, ВА, ВС через х = АВ1 и у = АВ.

Обозначим $$\overset{\frown}{AB}=115^\circ$$, $$\overset{\frown}{AC}=43^\circ$$.

Точка $$C$$ может лежать либо на большой, либо на малой дуге $$AB$$.

1) Если точка $$C$$ лежит на большой дуге $$AB$$, то дуга $$BC$$ равна

$$\overset{\frown}{BC}=360^\circ-115^\circ-43^\circ=202^\circ.$$

Тогда по теореме о вписанном угле

$$\angle CAB=\frac{1}{2}\overset{\frown}{BC}=\frac{202^\circ}{2}=101^\circ.$$

2) Если точка $$C$$ лежит на малой дуге $$AB$$, то

$$\overset{\frown}{BC}=115^\circ-43^\circ=72^\circ.$$

Тогда

$$\angle CAB=\frac{1}{2}\overset{\frown}{BC}=\frac{72^\circ}{2}=36^\circ.$$

Пусть теперь $$\overrightarrow{AB_1}=\vec{x}$$, $$\overrightarrow{AB}=\vec{y}$$, а $$BB_1$$ — медиана треугольника $$ABC$$. Тогда точка $$B_1$$ — середина отрезка $$AC$$, значит

$$\overrightarrow{B_1C}=\overrightarrow{AB_1}=\vec{x}.$$

По правилу треугольника

$$\overrightarrow{BB_1}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AB_1}=-\vec{y}+\vec{x}=\vec{x}-\vec{y}.$$

Также

$$\overrightarrow{BA}=-\overrightarrow{AB}=-\vec{y}.$$

Наконец,

$$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}=-\vec{y}+2\vec{x}=2\vec{x}-\vec{y}.$$

Ответ

$$\angle CAB=101^\circ$$ или $$36^\circ$$; $$\overrightarrow{B_1C}=\vec{x},\ \overrightarrow{BB_1}=\vec{x}-\vec{y},\ \overrightarrow{BA}=-\vec{y},\ \overrightarrow{BC}=2\vec{x}-\vec{y}.$$