Упр.768 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 8 класс, Просвещение: Центральный угол АОВ на 30° больше вписанного угла, опирающегося на дугу АВ. Найдите каждый из этих углов. Точки М и N — середины сторон АВ и АС треугольника ABC. Выразите векторы ВМ, NC, MN, BN через векторы а = AM и b = AN.

Обозначим вписанный угол через $$\angle ACB=x.$$ Тогда центральный угол, опирающийся на ту же дугу $$AB,$$ равен

$$\angle AOB=x+30^\circ.$$

По теореме о вписанном угле центральный угол вдвое больше вписанного, значит

$$\angle ACB=\frac{1}{2}\angle AOB.$$

Подставим:

$$x=\frac{1}{2}(x+30^\circ).$$

Решим уравнение:

$$ 2x=x+30^\circ \\ x=30^\circ $$

Тогда

$$\angle ACB=30^\circ,$$

$$\angle AOB=60^\circ.$$

Теперь выразим векторы через $$\vec a=\overrightarrow{AM}$$ и $$\vec b=\overrightarrow{AN}.$$

Так как $$M$$ — середина $$AB,$$ то $$\overrightarrow{MA}=-\overrightarrow{AM}=-\vec a,$$ значит

$$\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{MA}=-\vec a.$$

Так как $$N$$ — середина $$AC,$$ то

$$\overrightarrow{NC}=\overrightarrow{AN}=\vec b.$$

По правилу треугольника

$$\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AN}=-\vec a+\vec b=\vec b-\vec a.$$

Тогда

$$ \overrightarrow{BN}=\overrightarrow{BM}+\overrightarrow{MN} =-\vec a+(\vec b-\vec a) =\vec b-2\vec a. $$

Ответ

$$\angle ACB=30^\circ,\quad \angle AOB=60^\circ.$$

$$\overrightarrow{BM}=-\vec a,\quad \overrightarrow{NC}=\vec b,\quad \overrightarrow{MN}=\vec b-\vec a,\quad \overrightarrow{BN}=\vec b-2\vec a.$$