Упр.765 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 8 класс, Просвещение: На полуокружности АВ взяты точки С и D так, что АС = 37°, BD = 23°. Найдите хорду CD, если радиус окружности равен 15см. Пусть X, Y и Z — произвольные точки. Докажите, что векторы р = XY + ZX + YZ, q = (XY-XZ) + YZ и r = (ZY-XY)-ZX нулевые.

1) Точки $$C$$ и $$D$$ делят полуокружность $$AB$$ на три дуги, поэтому

$$\overset{\frown}{CD}=180^\circ-\overset{\frown}{AC}-\overset{\frown}{BD}=180^\circ-37^\circ-23^\circ=120^\circ.$$

2) Проведём радиус $$OE$$ перпендикулярно хорде $$CD$$. Тогда в равнобедренном треугольнике $$COD$$ имеем $$OC=OD=R=15$$, а прямая $$OE$$ является и медианой, и биссектрисой, и высотой. Значит,

$$\angle EOD=\frac{1}{2}\angle COD=\frac{120^\circ}{2}=60^\circ.$$

3) В прямоугольном треугольнике $$OED$$

$$\sin \angle EOD=\frac{ED}{OD},$$

откуда

$$ED=OD\cdot \sin 60^\circ=15\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{15\sqrt{3}}{2}.$$

Так как $$OE$$ делит хорду $$CD$$ пополам, то

$$CD=2ED=2\cdot \frac{15\sqrt{3}}{2}=15\sqrt{3}\text{ см}.$$

Ответ

$$15\sqrt{3}\text{ см}$$

Ход решения

Пусть $$X, Y, Z$$ — произвольные точки. Докажем, что все три вектора равны нулевому.

Используем правило многоугольника:

$$\vec p=\overrightarrow{XY}+\overrightarrow{ZX}+\overrightarrow{YZ}=\overrightarrow{XY}+\overrightarrow{YZ}+\overrightarrow{ZX}=\overrightarrow{XX}=\vec 0.$$

Далее

$$\vec q=(\overrightarrow{XY}-\overrightarrow{XZ})+\overrightarrow{YZ}=(\overrightarrow{XY}+\overrightarrow{ZX})+\overrightarrow{YZ}=\overrightarrow{XZ}+\overrightarrow{YZ}+\overrightarrow{ZX}=\overrightarrow{XX}=\vec 0.$$

И наконец

$$\vec r=(\overrightarrow{ZY}-\overrightarrow{XY})-\overrightarrow{ZX}=(\overrightarrow{ZY}+\overrightarrow{YX})+\overrightarrow{XZ}=\overrightarrow{ZX}+\overrightarrow{XZ}=\overrightarrow{ZZ}=\vec 0.$$

Следовательно,

$$\vec p=\vec q=\vec r=\vec 0,$$

что и требовалось доказать.