Упр.765 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. На полуокружности $$AB$$ взяты точки $$C$$ и $$D$$ так, что $$AC=37^\circ$$, $$BD=23^\circ$$. Найдите хорду $$CD$$, если радиус окружности равен $$15\text{ см}$$.
2. Пусть $$X$$, $$Y$$ и $$Z$$ — произвольные точки. Докажите, что векторы $$p=XY+ZX+YZ$$, $$q=(XY-XZ)+YZ$$ и $$r=(ZY-XY)-ZX$$ нулевые.

Так как $$AB$$ — диаметр полуокружности, то дуга $$AB$$ равна $$180^\circ$$. Тогда

$$\overset{\frown}{CD}=180^\circ-37^\circ-23^\circ=120^\circ.$$

Пусть $$O$$ — центр окружности, а $$OE\perp CD$$. Тогда в равнобедренном треугольнике $$COD$$ имеем $$OC=OD=R=15$$, а высота $$OE$$ является также медианой, значит

$$CE=ED,\qquad \angle EOD=\frac{1}{2}\angle COD=\frac{1}{2}\cdot 120^\circ=60^\circ.$$

В прямоугольном треугольнике $$OED$$:

$$\sin \angle EOD=\frac{ED}{OD},$$

откуда

$$ED=OD\cdot \sin 60^\circ=15\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{15\sqrt{3}}{2}.$$

Так как $$CD=2ED$$, получаем

$$CD=2\cdot \frac{15\sqrt{3}}{2}=15\sqrt{3}\text{ см}.$$

Ответ: $$15\sqrt{3}\text{ см}$$.