Упр.764 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Хорды $$AB$$ и $$CD$$ окружности с центром $$O$$ равны.
а) Докажите, что две дуги с концами $$A$$ и $$B$$ соответственно равны двум дугам с концами $$C$$ и $$D$$.
б) Найдите дуги с концами $$C$$ и $$D$$, если $$\angle AOB=112^\circ$$. - Пользуясь правилом многоугольника, упростите выражение:
а) $$(AB+BC-MC)+(MD-KD)$$;
б) $$(CB+AC+BD)-(MK+KD)$$.
Рассмотрим треугольники $$\triangle ABO$$ и $$\triangle COD$$. Так как $$O$$ — центр окружности, то $$OA=OB=OC=OD$$ как радиусы. По условию $$AB=CD$$. Значит, $$\triangle ABO \cong \triangle COD$$ по трём сторонам.
Отсюда соответствующие центральные углы равны:
$$\angle AOB=\angle COD.$$
Равным центральным углам соответствуют равные дуги, значит, дуги с концами $$A$$ и $$B$$ равны дугам с концами $$C$$ и $$D$$:
$$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}.$$
Если $$\angle AOB=112^\circ$$, то $$\angle COD=112^\circ$$. Тогда мера дуги $$CD$$ равна $$112^\circ$$, а мера большей дуги с концами $$C$$ и $$D$$ равна
$$360^\circ-112^\circ=248^\circ.$$
Ответ
а) $$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$$; б) $$\overset{\frown}{CD}=112^\circ$$, большая дуга $$CBD=248^\circ$$.
