Упр.762 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Начертите окружность с центром $$O$$ и отметьте на ней точку $$A$$. Постройте хорду $$AB$$ так, чтобы: а) $$\angle AOB=60^\circ$$; б) $$\angle AOB=90^\circ$$; в) $$\angle AOB=120^\circ$$; г) $$\angle AOB=180^\circ$$.
Сторона равностороннего треугольника $$ABC$$ равна $$a$$. Найдите: а) $$\lvert\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}\rvert$$; б) $$\lvert\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\rvert$$; в) $$\lvert\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CB}\rvert$$; г) $$\lvert\overrightarrow{BA}-\overrightarrow{BC}\rvert$$; д) $$\lvert\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}\rvert$$.

Подробный ответ

Пусть $$\triangle ABC$$ — равносторонний, тогда $$AB=BC=AC=a$$.

Ход решения

а) По правилу треугольника

$$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}.$$

Значит,

$$\left|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}\right|=\left|\overrightarrow{AC}\right|=a.$$

б) Векторы $$\overrightarrow{AB}$$ и $$\overrightarrow{AC}$$ образуют угол $$60^\circ$$. Тогда по правилу параллелограмма сумма этих векторов равна диагонали $$\overrightarrow{AD}$$ параллелограмма $$ABCD$$.

Найдём её длину. В треугольнике с сторонами $$a$$ и углом между ними $$60^\circ$$:

$$AO=\sqrt{a^2-\left(\frac a2\right)^2}=\sqrt{\frac{3a^2}{4}}=\frac{a\sqrt3}{2}.$$

Тогда

$$\left|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right|=|AD|=2AO=a\sqrt3.$$

в) Аналогично,

$$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{CE},$$

и получаем ромб, у которого диагональ равна $$a\sqrt3$$. Следовательно,

$$\left|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CB}\right|=a\sqrt3.$$

г) По правилу треугольника

$$\overrightarrow{BA}-\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{CA}.$$

Значит,

$$\left|\overrightarrow{BA}-\overrightarrow{BC}\right|=\left|\overrightarrow{CA}\right|=a.$$