Упр.76 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Даны четыре прямые, каждые две из которых пересекаются. Сколько точек пересечения имеют эти прямые, если через каждую точку пересечения проходят только две прямые?
2. Отрезок $$AB$$ длины $$a$$ разделён точками $$P$$ и $$Q$$ на три отрезка $$AP$$, $$PQ$$ и $$QB$$ так, что $$AP-2PQ=2QB$$. Найдите расстояние между:
   а) точкой $$A$$ и серединой отрезка $$QB$$;
   б) серединами отрезков $$AP$$ и $$QB$$.

Пусть $$AP=x,$$ тогда из условия $$AP=2PQ=2QB$$ получаем

$$PQ=QB=\frac{x}{2}.$$

Тогда

$$AB=AP+PQ+QB=x+\frac{x}{2}+\frac{x}{2}=2x,$$

значит,

$$AP=PB=\frac{AB}{2}=\frac{a}{2}.$$

Следовательно,

$$PQ=QB=\frac{1}{2}PB=\frac{a}{4}.$$

Обозначим середину отрезка $$QB$$ через $$C,$$ а середину отрезка $$AP$$ через $$D.$$ Тогда

$$QC=\frac{QB}{2}=\frac{a}{8}, \qquad DP=\frac{AP}{2}=\frac{a}{4}.$$

а) Расстояние между точкой $$A$$ и серединой отрезка $$QB$$:

$$AC=AP+PQ+QC=\frac{a}{2}+\frac{a}{4}+\frac{a}{8}=\frac{7a}{8}.$$

б) Расстояние между серединами отрезков $$AP$$ и $$QB$$:

$$DC=DP+PQ+QC=\frac{a}{4}+\frac{a}{4}+\frac{a}{8}=\frac{5a}{8}.$$

Ответ: а) $$\frac{7a}{8}$$; б) $$\frac{5a}{8}$$.