Упр.759 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Докажите утверждение 4 из теоремы о взаимном расположении окружностей: если расстояние между центрами двух окружностей больше суммы радиусов этих окружностей, то окружности не имеют общих точек, причём одна окружность лежит вне другой окружности.
2. Дан произвольный четырёхугольник $$MNPQ$$. Докажите, что:
   а) $$MN + NQ = MP + PQ$$;
   б) $$MN + NP = MQ + QP$$.

Рассмотрим четырёхугольник $$MNPQ$$ и проведём диагональ $$MP$$.

По правилу треугольника для векторов имеем:

$$\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{NQ}=\overrightarrow{MQ}$$

и

$$\overrightarrow{MP}+\overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{MQ}.$$

Следовательно,

$$\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{NQ}=\overrightarrow{MP}+\overrightarrow{PQ}.$$

Аналогично, если провести диагональ $$MQ$$, то

$$\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{NP}=\overrightarrow{MP}$$

и

$$\overrightarrow{MQ}+\overrightarrow{QP}=\overrightarrow{MP}.$$

Значит,

$$\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{NP}=\overrightarrow{MQ}+\overrightarrow{QP}.$$

Оба равенства доказаны.