Упр.758 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Докажите утверждение 2 из теоремы о взаимном расположении окружностей: если расстояние между центрами двух окружностей равно сумме радиусов этих окружностей, то окружности касаются внешним образом.
2. Начертите два ненулевых коллинеарных вектора $$a$$ и $$b$$ так, чтобы $$|a| \ne |b|$$. Постройте векторы: а) $$a-b$$; б) $$b-a$$; в) $$-a+b$$. Выполните ещё раз построение для случая, когда $$|a|=|b|$$.

Пусть $$A$$ и $$B$$ — центры окружностей радиусов $$R$$ и $$r$$, причём $$R\ge r$$. По условию

$$AB=R+r.$$

На отрезке $$AB$$ отложим точку $$K$$ так, что $$AK=R$$. Тогда

$$BK=AB-AK=(R+r)-R=r.$$

Значит, точка $$K$$ лежит на обеих окружностях, то есть окружности имеют общую точку.

Докажем, что других общих точек у них нет. Возьмём произвольную точку $$C$$ меньшей окружности. Тогда $$BC=r$$. В треугольнике $$ABC$$ по неравенству треугольника

$$AC>AB-BC.$$

Подставим найденные значения:

$$AC>(R+r)-r=R.$$

Следовательно, любая точка меньшей окружности находится вне большей окружности, кроме точки $$K$$. Значит, окружности касаются внешним образом.

Ответ

Если $$AB=R+r$$, то окружности имеют одну общую точку и касаются внешним образом.