Упр.757 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Дано:
A и B-ц.окруж;
E,F,K-т.касан;
AE=AK=r;
BK=BF=R;
угол C=60 °;
Найти:
R-?;
Решение:
1) Для данных окружностей:
AE перпендикулярно CE, BF перпендикулярно CF, AB=R+r;
BC=AC+AK+BK=AC+R+r;
A принадлежит AC, угол ACE=1/2угол C=(60°)/2=30°;
2) В прямоугольном треугольнике ACE:
угол E=90°, угол ACE=30°, AC=2AE;
AC=2r; BC=2r+R+r=3r+R;
3) В прямоугольном треугольнике BCF:
угол F=90°, угол C=30°, BC=2BF;
BC=2R, 3r+R=2R, R=3r;
Ответ: 3r. Начертите векторы х, у и z так, чтобы х || у, х || z. Постройте векторы х + у, у -z, х + z.

Подробный ответ

Пусть центры окружностей — точки $$A$$ и $$B$$, а точка $$C$$ — вершина угла $$60^\circ$$. Точки касания меньшей окружности с сторонами угла обозначим $$E$$ и $$K$$, большей — $$F$$ и $$K$$.

Так как радиусы, проведённые в точки касания, перпендикулярны касательным, то

$$AE \perp CE,\qquad AK \perp CK,\qquad BF \perp CF.$$

Кроме того, по условию $$AE=AK=r$$, $$BK=BF=R$$.

Центры окружностей лежат на биссектрисе угла, значит

$$\angle ACE=\angle ACF=\frac{60^\circ}{2}=30^\circ.$$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$ACE$$. В нём $$\angle E=90^\circ$$ и $$\angle ACE=30^\circ$$, значит гипотенуза вдвое больше катета, лежащего против угла $$30^\circ$$:

$$AC=2AE=2r.$$

Тогда

$$BC=AC+AB+BC?$$

Удобнее выразить отрезок $$BC$$ через касательные участки на биссектрисе: от точки $$C$$ до точки касания $$K$$ на меньшей окружности и далее до центра $$B$$ получаем

$$BC=AC+AK+BK=2r+r+R=3r+R.$$

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $$BCF$$. В нём $$\angle F=90^\circ$$ и $$\angle BCF=30^\circ$$, поэтому

$$BC=2BF=2R.$$

Следовательно,

$$3r+R=2R,$$

откуда

$$R=3r.$$