Упр.757 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

В угол, равный $$60^\circ$$, вписаны две окружности, касающиеся друг друга внешним образом. Радиус меньшей окружности равен $$r$$. Найдите радиус большей окружности.
Начертите векторы $$x$$, $$y$$ и $$z$$ так, чтобы $$x \parallel y$$, $$x \parallel z$$. Постройте векторы $$x+y$$, $$y-z$$, $$x+z$$.

Подробный ответ

Пусть $$A$$ и $$B$$ — центры окружностей, $$E$$ и $$F$$ — точки касания с сторонами угла, $$K$$ — точка касания окружностей.

Так как окружности касаются сторон угла, то

$$AE\perp CE,\qquad BF\perp CF.$$

Центры окружностей лежат на биссектрисе угла, поэтому

$$\angle ACE=\angle BCF=\frac{60^\circ}{2}=30^\circ.$$

Меньшая окружность имеет радиус $$r$$, значит $$AE=AK=r$$. Большая окружность имеет радиус $$R$$, значит $$BF=BK=R$$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$ACE$$. В нём $$\angle E=90^\circ$$, $$\angle ACE=30^\circ$$, значит катет, лежащий против угла $$30^\circ$$, равен половине гипотенузы:

$$AC=2AE=2r.$$

Тогда

$$BC=AC+AK+BK=2r+r+R=3r+R.$$

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $$BCF$$. В нём $$\angle F=90^\circ$$, $$\angle BCF=30^\circ$$, поэтому

$$BC=2BF=2R.$$

Получаем уравнение:

$$3r+R=2R,$$

откуда

$$R=3r.$$