Упр.756 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Три равные окружности радиуса $$r$$ касаются друг друга внешним образом. Найдите стороны и углы треугольника, вершинами которого являются: а) центры данных окружностей; б) точки касания данных окружностей.
2. Начертите попарно неколлинеарные векторы $$\mathrm{х}$$, $$\mathrm{у}$$, $$z$$ и постройте векторы $$\mathrm{х}-\mathrm{у}$$, $$z-\mathrm{у}$$, $$\mathrm{х}-z$$, $$-\mathrm{х}$$, $$-\mathrm{у}$$, $$-z$$.

Рассмотрим центры окружностей $$A,$$ $$B,$$ $$C$$ и точки касания $$E,$$ $$F,$$ $$D.$$ Так как окружности равны и касаются внешним образом, то расстояния между их центрами равны сумме радиусов:

$$AB=AE+BE=r+r=2r,$$
$$BC=BD+CD=r+r=2r,$$
$$AC=AF+CF=r+r=2r.$$

Следовательно, $$AB=BC=AC=2r,$$ значит, треугольник $$ABC$$ равносторонний. Тогда

$$\angle A=\angle B=\angle C=60^\circ.$$

Теперь рассмотрим треугольник $$EDF.$$ Точки $$E,$$ $$D,$$ $$F$$ — точки касания, поэтому каждый его бок равен радиусу окружности:

$$DE=DF=FE=r.$$

Значит, треугольник $$EDF$$ тоже равносторонний, и

$$\angle E=\angle D=\angle F=60^\circ.$$

Ответ: а) $$AB=BC=AC=2r,$$ $$\angle A=\angle B=\angle C=60^\circ$$; б) $$DE=DF=FE=r,$$ $$\angle E=\angle D=\angle F=60^\circ$$.