Упр.756 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Дано:
A,B,C-ц.окружн;
E,F,D-т.касания;
AE=BD=CF=r;
Найти:
а) угол A; угол B; угол C;
AB; BC; AC;
б) угол E; угол D; угол F;
FE; DE; DF;
Решение:
1) В треугольнике ABC:
AB=AE+BE=r+r=2r;
BC=BD+CD=r+r=2r;
AC=AF+CF=r+r=2r;
AB=BC=AC=2r;
угол A=угол B=угол C=60°;
AF=CF; BD=CD; DF=1/2 AB;
AE=BE; BD=CD; DE=1/2 AC;
AE=BE; AF=CF; FE=1/2 BC;
2) В треугольнике EDF:
DF=DE=FE=2r/2=r;
угол E=угол D=угол F=60°;
Ответ: а) 2r; 60°; б) r; 60°. Начертите попарно неколлинеарные векторы х, у, z и постройте векторы х — у, z-y, x-z, -х, -у, -z
Обозначим центры окружностей через $$A, B, C$$, а точки касания — через $$E, F, D$$. Так как окружности равны и касаются внешним образом, то радиусы, проведённые в точки касания, равны $$r$$.
Рассмотрим треугольник $$ABC$$. Его стороны состоят из двух радиусов:
$$ AB=AE+BE=r+r=2r,\\ BC=BD+CD=r+r=2r,\\ AC=AF+CF=r+r=2r. $$
Следовательно, $$AB=BC=AC$$, значит, треугольник $$ABC$$ равносторонний. Тогда
$$\angle A=\angle B=\angle C=60^\circ.$$
Теперь рассмотрим треугольник $$EDF$$. Его стороны равны половинам соответствующих сторон треугольника $$ABC$$:
$$ DF=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}\cdot 2r=r,\\ DE=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}\cdot 2r=r,\\ FE=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}\cdot 2r=r. $$
Значит, $$DF=DE=FE$$, то есть треугольник $$EDF$$ тоже равносторонний. Поэтому
$$\angle E=\angle D=\angle F=60^\circ.$$
Ответ
а) $$AB=BC=AC=2r$$, $$\angle A=\angle B=\angle C=60^\circ$$;
б) $$DF=DE=FE=r$$, $$\angle E=\angle D=\angle F=60^\circ$$.
