Упр.755 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Сколько общих касательных имеют две окружности с центрами $$O_1$$ и $$O_2$$ и радиусами $$R$$ и $$r$$, если:
а) $$O_1O_2=12\text{ см}$$, $$R=8\text{ см}$$, $$r=6\text{ см}$$;
б) $$O_1O_2=12\text{ см}$$, $$R=8\text{ см}$$, $$r=4\text{ см}$$;
в) $$O_1O_2=12\text{ см}$$, $$R=6\text{ см}$$, $$r=4\text{ см}$$;
г) $$O_1O_2=2\text{ см}$$, $$R=8\text{ см}$$, $$r=6\text{ см}$$;
д) $$O_1O_2=3\text{ см}$$, $$R=5\text{ см}$$, $$r=4\text{ см}$$?
Начертите попарно неколлинеарные векторы $$\vec{a}$$, $$\vec{b}$$, $$\vec{c}$$, $$\vec{d}$$, $$\vec{e}$$ и, пользуясь правилом многоугольника, постройте вектор $$\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}+\vec{d}+\vec{e}$$.

Подробный ответ

Для каждой пары окружностей сравним расстояние между центрами $$O_1O_2$$ с суммой и разностью радиусов.

$$O_1O_2=12\text{ см},\quad R=8\text{ см},\quad r=6\text{ см}$$

$$R+r=8+6=14\text{ см}$$

Так как $$R+r>O_1O_2$$, окружности пересекаются, и общих касательных у них две.
$$O_1O_2=12\text{ см},\quad R=8\text{ см},\quad r=4\text{ см}$$

$$R+r=8+4=12\text{ см}$$

Так как $$R+r=O_1O_2$$, окружности касаются внешним образом, и общих касательных три.
$$O_1O_2=12\text{ см},\quad R=6\text{ см},\quad r=4\text{ см}$$

$$R+r=6+4=10\text{ см}$$

Так как $$R+r<O_1O_2$$, окружности расположены отдельно, и общих касательных четыре.
$$O_1O_2=2\text{ см},\quad R=8\text{ см},\quad r=6\text{ см}$$

$$R-r=8-6=2\text{ см}$$

Так как $$R-r=O_1O_2$$, окружности касаются внутренним образом, и общая касательная одна.
$$O_1O_2=3\text{ см},\quad R=5\text{ см},\quad r=4\text{ см}$$

$$R-r=5-4=1\text{ см}$$

Так как $$R-r<O_1O_2$$, одна окружность лежит внутри другой без касания, общих касательных нет.