Упр.755 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Количество касательных:
а) O_1 O_2=12 см, R=8 см, r=6 см;
R+r=8+6=14 см, R+r>O_1 O_2;
Ответ: две.
б) O_1 O_2=12 см, R=8 см, r=4 см;
R+r=8+4=12 см, R+r=O_1 O_2;
Ответ: три.
в) O_1 O_2=12 см, R=6 см, r=4 см;
R+r=6+4=10 см, R+r

Подробный ответ

Для двух окружностей число общих касательных зависит от взаимного расположения окружностей.

Используем сравнение расстояния между центрами $$O_1O_2$$ с суммой и разностью радиусов:

если $$O_1O_2>R+r$$, то общих касательных $$4$$;
если $$O_1O_2=R+r$$, то общих касательных $$3$$;
если $$|R-r|<O_1O_2<R+r$$, то общих касательных $$2$$;
если $$O_1O_2=|R-r|$$, то общих касательных $$1$$;
если $$O_1O_2<|R-r|$$, то общих касательных $$0$$.

а) $$R+r=8+6=14$$, а $$O_1O_2=12$$, значит $$|R-r|=2<12<14$$. Следовательно, общих касательных две.

б) $$R+r=8+4=12$$, а $$O_1O_2=12$$. Следовательно, общих касательных три.

в) $$R+r=6+4=10$$, а $$O_1O_2=12>10$$. Следовательно, общих касательных четыре.

г) $$R-r=8-6=2$$, а $$O_1O_2=2$$. Следовательно, общая касательная одна.

д) $$R-r=5-4=1$$, а $$O_1O_2=3>1$$, при этом $$O_1O_2<R+r=9$$. Следовательно, общих касательных две.

Для построения вектора $$\vec a+\vec b+\vec c+\vec d+\vec e$$ нужно последовательно отложить векторы $$\vec a,\ \vec b,\ \vec c,\ \vec d,\ \vec e$$ по правилу многоугольника. Тогда искомая сумма — это вектор, соединяющий начало первого вектора с концом последнего.