Упр.749 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Задание учебника 2025 года. Отрезок $$АН$$ — перпендикуляр, проведённый из точки $$А$$ к прямой, проходящей через центр $$О$$ окружности радиуса $$3\ см$$. Является ли прямая $$АН$$ касательной к окружности, если: а) $$ОА=5\ см$$, $$АН=4\ см$$; б) $$\angle HAO=45^\circ$$, $$ОА=4\ см$$; в) $$\angle HAO=30^\circ$$, $$ОА=6\ см$$?
- Задание учебника 2023 года. Точки $$S$$ и $$Т$$ являются серединами боковых сторон $$MN$$ и $$LK$$ равнобедренной трапеции $$MNLK$$. Равны ли векторы: а) $$\overrightarrow{NL}$$ и $$\overrightarrow{KL}$$; б) $$\overrightarrow{MS}$$ и $$\overrightarrow{SN}$$; в) $$\overrightarrow{MN}$$ и $$\overrightarrow{KL}$$; г) $$\overrightarrow{TS}$$ и $$\overrightarrow{КМ}$$; д) $$\overrightarrow{TL}$$ и $$\overrightarrow{КТ}$$?
а) Рассмотрим треугольник $$AOH$$. Так как $$AH \perp OH$$, то он прямоугольный.
По теореме Пифагора:
$$OH^2=AO^2-AH^2=5^2-4^2=25-16=9,$$
значит, $$OH=3$$ см. Это равно радиусу окружности, следовательно, прямая $$AH$$ касается окружности.
б) В треугольнике $$AOH$$ угол $$AHO=90^\circ$$, а $$\angle HAO=45^\circ$$, значит, $$\angle AOH=45^\circ$$. Тогда треугольник $$AOH$$ равнобедренный, и $$AH=OH$$.
Пусть $$OH=x$$. Тогда $$AH=x$$, а по теореме Пифагора:
$$AO^2=AH^2+OH^2=x^2+x^2=2x^2.$$
Отсюда
$$2x^2=4^2=16,\qquad x^2=8,\qquad x=2\sqrt2.$$
Значит, $$OH=2\sqrt2 \ne 3$$ см, поэтому прямая $$AH$$ не является касательной.
в) В треугольнике $$AOH$$ угол $$AHO=90^\circ$$, а $$\angle HOA=30^\circ$$. Тогда
$$AH=\frac12\,AO=\frac12\cdot 6=3$$ см.
По теореме Пифагора:
$$OH^2=AO^2-AH^2=6^2-3^2=36-9=27,$$
то есть $$OH=3\sqrt3$$ см. Это не равно радиусу $$3$$ см, значит, прямая $$AH$$ не является касательной.
Ответ: а) да; б) нет; в) нет.
