Упр.748 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- В прямоугольной трапеции $$ABCD$$ угол $$A=\angle D=90^\circ$$. Докажите, что:
а) прямая $$AD$$ является касательной к окружности с центром $$B$$ радиуса $$AB$$;
б) прямая $$CD$$ является касательной к окружности с центром $$A$$ радиуса $$AD$$;
в) прямая $$CD$$ не является касательной к окружности с центром $$B$$ радиуса $$BC$$. - Диагонали параллелограмма $$ABCD$$ пересекаются в точке $$O$$. Равны ли векторы:
а) $$\overrightarrow{AB}$$ и $$\overrightarrow{DC}$$;
б) $$\overrightarrow{BC}$$ и $$\overrightarrow{DA}$$;
в) $$\overrightarrow{AO}$$ и $$\overrightarrow{OC}$$;
г) $$\overrightarrow{AC}$$ и $$\overrightarrow{BD}$$?
Ответ обоснуйте.
Пусть $$ABCD$$ — параллелограмм, а $$O$$ — точка пересечения его диагоналей.
В параллелограмме противоположные стороны параллельны и равны, значит $$AB \parallel DC$$ и $$AB=DC$$. Следовательно, векторы $$\overrightarrow{AB}$$ и $$\overrightarrow{DC}$$ равны.
Аналогично, $$BC \parallel DA$$ и $$BC=DA$$, но направления векторов $$\overrightarrow{BC}$$ и $$\overrightarrow{DA}$$ противоположны. Поэтому $$\overrightarrow{BC}\ne\overrightarrow{DA}$$.
Диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам, значит $$O$$ — середина диагонали $$AC$$. Тогда $$AO=OC$$ и векторы $$\overrightarrow{AO}$$ и $$\overrightarrow{OC}$$ сонаправлены. Следовательно, $$\overrightarrow{AO}=\overrightarrow{OC}$$.
Векторы $$\overrightarrow{AC}$$ и $$\overrightarrow{BD}$$ лежат на разных диагоналях параллелограмма, то есть не коллинеарны. Значит, они не равны.
Ответ: а) да; б) нет; в) да; г) нет.
