Упр.748 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

а) Так как прямая AD перпендикулярна радиусу AB окружности с центром в точке B, то данная прямая является касательной, что и требовалось доказать.
б) Так как прямая CD перпендикулярна радиусу AD окружности с центром в точке A, то данная прямая является касательной, что и требовалось доказать.
в) Прямая CD пересекает радиус BC окружности с центром в точке B не под прямым углом, поэтому она не может быть касательной к окружности.
Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке О. Равны ли векторы: а) АВ и DC; б) ВС и DA; в) АО и ОС; г) АС и BD? Ответ обоснуйте.

Подробный ответ

Рассмотрим параллелограмм $$ABCD$$. Тогда по определению параллелограмма

$$AB \parallel DC,\qquad BC \parallel AD,$$

а диагонали $$AC$$ и $$BD$$ пересекаются в точке $$O$$ и делятся этой точкой пополам.

а) В параллелограмме противоположные стороны равны и сонаправлены, значит

$$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}.$$

б) Векторы $$\overrightarrow{BC}$$ и $$\overrightarrow{DA}$$ направлены в разные стороны, хотя их длины равны. Поэтому

$$\overrightarrow{BC}\ne \overrightarrow{DA}.$$

в) Точка $$O$$ — середина диагонали $$AC$$, значит

$$AO=OC.$$

Кроме того, векторы $$\overrightarrow{AO}$$ и $$\overrightarrow{OC}$$ сонаправлены, следовательно

$$\overrightarrow{AO}=\overrightarrow{OC}.$$

г) Векторы $$\overrightarrow{AC}$$ и $$\overrightarrow{BD}$$ лежат на разных диагоналях параллелограмма, они не коллинеарны, значит равными быть не могут:

$$\overrightarrow{AC}\ne \overrightarrow{BD}.$$