Упр.747 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Из концов диаметра $$AB$$ данной окружности проведены перпендикуляры $$AA_1$$ и $$BB_1$$ к касательной, которая не перпендикулярна к диаметру $$AB$$. Докажите, что точка касания является серединой отрезка $$A_1B_1$$.
2. Выпишите пары коллинеарных векторов, которые определяются сторонами: а) параллелограмма $$MNPQ$$; б) трапеции $$ABCD$$ с основаниями $$AD$$ и $$BC$$; в) треугольника $$FGH$$. Укажите среди них пары сонаправленных и противоположно направленных векторов.

Из концов диаметра $$AB$$ проведены перпендикуляры $$AA_1$$ и $$BB_1$$ к касательной $$l$$. Так как две прямые, перпендикулярные одной и той же прямой, параллельны, то

$$AA_1 \parallel BB_1.$$

Поскольку $$AB$$ — диаметр, то радиус $$OC$$, проведённый в точку касания $$C$$, перпендикулярен касательной:

$$OC \perp l.$$

Следовательно, $$AA_1 \parallel OC \parallel BB_1.$$

Так как $$O$$ — середина диаметра $$AB$$, то $$OA=OB$$. Прямые $$AA_1$$, $$OC$$ и $$BB_1$$ параллельны, значит, по теореме Фалеса точка $$C$$ делит отрезок $$A_1B_1$$ пополам:

$$A_1C=CB_1.$$

Значит, точка касания $$C$$ является серединой отрезка $$A_1B_1$$.

Ответ

$$A_1C=CB_1,$$ поэтому точка касания $$C$$ — середина отрезка $$A_1B_1$$.