Упр.746 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Прямые $$MA$$ и $$MB$$ касаются окружности с центром $$O$$ в точках $$A$$ и $$B$$. Точка $$C$$ симметрична точке $$O$$ относительно точки $$B$$. Докажите, что $$\angle AMC = 3\angle BMC$$.
- Основание $$AD$$ прямоугольной трапеции $$ABCD$$ с прямым углом $$A$$ равно $$12\ \text{см}$$, $$AB = 5\ \text{см}$$, $$\angle D = 45^\circ$$. Найдите длины векторов $$\overrightarrow{BD}$$, $$\overrightarrow{CD}$$ и $$\overrightarrow{AC}$$.
Обозначим радиус окружности через $$R$$. Так как $$MA$$ и $$MB$$ — касательные, то радиусы, проведённые в точки касания, перпендикулярны касательным:
$$OA \perp MA,\qquad OB \perp MB.$$
Рассмотрим прямоугольные треугольники $$\triangle OMB$$ и $$\triangle CMB$$. По условию $$OB=BC$$, а сторона $$MB$$ у них общая. Кроме того, $$\angle OBM=\angle CBM$$, так как точки $$O, B, C$$ лежат на одной прямой. Значит, $$\triangle OMB \cong \triangle CMB$$ по двум катетам.
Отсюда
$$\angle OMB=\angle CMB.$$
Теперь рассмотрим угол $$\angle AMC$$. Он состоит из трёх углов:
$$\angle AMC=\angle AMO+\angle OMB+\angle BMC.$$
Так как $$\triangle AOM$$ и $$\triangle BOM$$ — прямоугольные, а $$OA=OB$$ как радиусы одной окружности, то они равны, следовательно
$$\angle AMO=\angle OMB.$$
Тогда
$$\angle AMC=\angle OMB+\angle OMB+\angle BMC=2\angle OMB+\angle BMC.$$
Но $$\angle OMB=\angle BMC$$, значит
$$\angle AMC=3\angle BMC.$$
Что и требовалось доказать.
