Упр.746 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 8 класс, Просвещение: Прямые МА и MB касаются окружности с центром О в точках А и В. Точка С симметрична точке О относительно точки В. Докажите, что угол AMC = 3угол BMC. Основание AD прямоугольной трапеции ABCD с прямым углом А равно 12 см, АВ = 5 см, угол D = 45°. Найдите длины векторов BD, CD и АС.

Подробный ответ

Рассмотрим прямоугольную трапецию $$ABCD$$, где $$\angle A=90^\circ$$, $$AD=12$$ см, $$AB=5$$ см, $$\angle D=45^\circ$$.

1) Найдём диагональ $$BD$$ по теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике $$ABD$$:

$$ BD=\sqrt{AB^2+AD^2}=\sqrt{5^2+12^2}=\sqrt{25+144}=\sqrt{169}=13. $$

Значит, $$|BD|=13$$ см.

2) Опустим из точки $$C$$ перпендикуляр $$CH$$ на основание $$AD$$. Тогда $$CH$$ — высота трапеции, а значит $$CH=AB=5$$ см.

3) Рассмотрим прямоугольный треугольник $$CHD$$. Так как $$\angle D=45^\circ$$, то $$\angle CHD=45^\circ$$, следовательно, треугольник $$CHD$$ равнобедренный. Поэтому

$$CH=HD=5$$ см.

4) Тогда

$$AH=AD-HD=12-5=7$$ см.

Так как $$BC$$ параллельно $$AD$$, то $$BC=AH=7$$ см.

5) Найдём $$CD$$ по теореме Пифагора в треугольнике $$CHD$$:

$$ CD=\sqrt{CH^2+HD^2}=\sqrt{5^2+5^2}=\sqrt{50}=5\sqrt{2}. $$

Значит, $$|CD|=5\sqrt{2}$$ см.

6) Найдём $$AC$$ по теореме Пифагора в треугольнике $$ABC$$:

$$ AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{5^2+7^2}=\sqrt{25+49}=\sqrt{74}. $$

Значит, $$|AC|=\sqrt{74}$$ см.