Упр.743 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 8 класс, Просвещение: Радиус ОМ окружности с центром О делит хорду АВ пополам. Докажите, что касательная, проведённая через точку М, параллельна хорде АВ. Начертите ненулевой вектор а и отметьте на плоскости три точки А, В и С. Отложите от точек А, В и С векторы, равные а.

Подробный ответ

1) Рассмотрим треугольник $$AOB$$. Так как $$OA=OB$$ как радиусы одной окружности, то треугольник $$AOB$$ равнобедренный.

По условию точка $$O_1$$ — середина хорды $$AB$$, значит отрезок $$OO_1$$ является медианой треугольника $$AOB$$, проведённой к основанию $$AB$$. В равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, является высотой, следовательно

$$OO_1 \perp AB.$$

Но точки $$O, O_1, M$$ лежат на одной прямой, значит

$$OM \perp AB.$$

2) Через точку $$M$$ проведена касательная $$p$$ к окружности, поэтому радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной:

$$OM \perp p.$$

Итак, прямые $$AB$$ и $$p$$ перпендикулярны одной и той же прямой $$OM$$. Следовательно,

$$p \parallel AB.$$

Это и требовалось доказать.

Чтобы отложить от точек $$A$$, $$B$$ и $$C$$ векторы, равные вектору $$\vec a$$, через каждую из этих точек нужно провести прямую, параллельную $$\vec a$$, и отложить на ней отрезок, равный $$|\vec a|$$, в том же направлении.