Упр.741 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Расстояние от точки А до центра окружности меньше радиуса окружности. Докажите, что любая прямая, проходящая через точку А, является секущей по отношению к данной окружности.
Начертите два неколлинеарных вектора $$a$$ и $$b$$. Изобразите несколько векторов: а) сонаправленных с вектором $$a$$; б) сонаправленных с вектором $$b$$; в) противоположно направленных вектору $$b$$; г) противоположно направленных вектору $$a$$.

Подробный ответ

Пусть $$O$$ — центр окружности, $$r$$ — её радиус, $$A$$ — данная точка, причём $$AO<r$$. Возьмём любую прямую $$a$$, проходящую через точку $$A$$.

Построим перпендикуляр $$OC$$ к прямой $$a$$, где $$C \in a$$. Тогда $$OC$$ — расстояние от центра окружности до прямой $$a$$.

В прямоугольном треугольнике $$AOC$$ имеем:

$$OC<AO$$, так как перпендикуляр из точки $$O$$ к прямой $$a$$ короче любой наклонной, проведённой из $$O$$ к этой прямой.

Но по условию $$AO<r$$, значит

$$OC<AO<r.$$

Следовательно, расстояние от центра окружности до прямой $$a$$ меньше радиуса окружности. А значит, прямая $$a$$ пересекает окружность в двух точках, то есть является секущей.

Ответ: любая прямая, проходящая через точку $$A$$, является секущей по отношению к данной окружности.