Упр.735 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Постройте треугольник, если даны середины его сторон.
- В трапецию с основаниями $$a$$ и $$b$$ можно вписать окружность и около этой трапеции можно описать окружность. Найдите радиус вписанной окружности.
Так как трапеция вписана в окружность, то она равнобедренная, значит $$AB=CD.$$
Пусть основания трапеции равны $$AD=a$$ и $$BC=b.$$ Тогда по свойству трапеции, описанной около окружности, сумма противоположных сторон равна:
$$AB+CD=AD+BC=a+b.$$
Так как $$AB=CD,$$ получаем
$$2AB=a+b,\qquad AB=\frac{a+b}{2}.$$
Проведём высоты $$BE$$ и $$CF.$$ Тогда $$BE=CF,$$ а прямоугольные треугольники $$ABE$$ и $$CFD$$ равны, откуда
$$AE=FD=\frac{AD-BC}{2}=\frac{a-b}{2}.$$
В прямоугольном треугольнике $$ABE$$ по теореме Пифагора:
$$BE^2=AB^2-AE^2 =\left(\frac{a+b}{2}\right)^2-\left(\frac{a-b}{2}\right)^2$$
$$=\frac{(a+b)^2-(a-b)^2}{4} =\frac{a^2+2ab+b^2-a^2+2ab-b^2}{4} =ab.$$
Значит,
$$BE=\sqrt{ab}.$$
Радиус вписанной окружности равен половине высоты трапеции, поэтому
$$r=\frac{BE}{2}=\frac{\sqrt{ab}}{2}.$$
Ответ
$$r=\frac{\sqrt{ab}}{2}.$$
