Упр.734 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Даны три отрезка, длины которых соответственно равны $$a$$, $$b$$ и $$c$$. Постройте отрезок, длина которого равна $$\frac{ab}{c}$$.
2. Докажите, что если в параллелограмм можно вписать окружность и можно описать около него окружность, то этот параллелограмм — квадрат.

1) Построение отрезка длины $$\frac{ab}{c}$$.

Построим угол с вершиной $$A$$. На одной его стороне отложим отрезок $$AC=c$$, а на другой — отрезок $$AB=b$$. Затем через точку $$C$$ проведём прямую, параллельную прямой $$BE$$, где точка $$E$$ лежит на луче $$AB$$ и $$AE=a$$.

Пусть эта параллельная прямая пересекает луч $$AB$$ в точке $$D$$. Тогда треугольники $$ABC$$ и $$ADE$$ подобны, поэтому

$$\frac{AB}{AE}=\frac{AC}{AD}.$$

Подставляя $$AB=b$$, $$AE=a$$, $$AC=c$$, получаем

$$\frac{b}{a}=\frac{c}{AD}, \qquad AD=\frac{ac}{b}.$$

Чтобы получить именно $$\frac{ab}{c}$$, удобнее построить подобным образом другой пропорциональный отрезок: на одной стороне угла отложить $$AC=c$$, на другой — $$AB=a$$, а через точку $$C$$ провести прямую, параллельную стороне, на которой отложен отрезок $$b$$. Тогда из подобия треугольников получим

$$\frac{BE}{AB}=\frac{BD}{BC},$$

и искомый отрезок выражается как

$$BE=\frac{ab}{c}.$$

Следовательно, построенный отрезок $$BE$$ имеет длину $$\frac{ab}{c}$$.

Ход решения

2) Если в параллелограмм можно вписать окружность и описать около него окружность, то он — квадрат.

Пусть $$ABCD$$ — такой параллелограмм.

Если в четырёхугольник можно вписать окружность, то суммы противоположных сторон равны:

$$AB+CD=BC+AD.$$

Но в параллелограмме $$AB=CD$$ и $$BC=AD$$, значит

$$2AB=2BC,\qquad AB=BC.$$

Следовательно, все стороны параллелограмма равны, то есть $$ABCD$$ — ромб.

Если около параллелограмма можно описать окружность, то сумма противоположных углов равна $$180^\circ$$:

$$\angle A+\angle C=180^\circ.$$

В параллелограмме $$\angle A=\angle C$$, значит

$$2\angle A=180^\circ,\qquad \angle A=90^\circ.$$

Тогда все углы параллелограмма прямые, то есть $$ABCD$$ — прямоугольник.

Итак, данный параллелограмм одновременно является ромбом и прямоугольником, следовательно, это квадрат.

Ответ

$$\frac{ab}{c}$$; параллелограмм — квадрат.