Упр.733 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Дан треугольник $$ABC$$. Постройте треугольник $$A_1B_1C_1$$, подобный треугольнику $$ABC$$, площадь которого в два раза больше площади треугольника $$ABC$$.
2. Найдите радиус вписанной в равносторонний треугольник окружности, если радиус описанной окружности равен $$10\ \text{см}$$.

Пусть $$\triangle A_1B_1C_1 \sim \triangle ABC.$$ Тогда отношение их площадей равно квадрату коэффициента подобия:

$$\frac{S_{A_1B_1C_1}}{S_{ABC}}=\left(\frac{A_1B_1}{AB}\right)^2=2.$$

Следовательно, коэффициент подобия

$$k=\frac{A_1B_1}{AB}=\sqrt{2}.$$

Значит, нужно построить треугольник, подобный данному, с коэффициентом подобия $$\sqrt{2}$$. Для этого на сторонах $$AB$$ и $$AC$$ строим квадраты. Диагонали этих квадратов равны соответственно $$\sqrt{2}\,AB$$ и $$\sqrt{2}\,AC$$, то есть позволяют отложить нужные длины $$A_1B_1$$ и $$A_1C_1$$.

Построение:

1. Проведём через точку $$A$$ прямые, параллельные сторонам $$AB$$ и $$AC$$.
2. На этих прямых построим квадраты со сторонами $$AB$$ и $$AC$$.
3. Диагонали построенных квадратов дадут отрезки длиной $$\sqrt{2}\,AB$$ и $$\sqrt{2}\,AC$$.
4. Отложим от точки $$A_1$$ отрезки $$A_1B_1=\sqrt{2}\,AB$$ и $$A_1C_1=\sqrt{2}\,AC$$.
5. Соединим точки $$A_1$$, $$B_1$$ и $$C_1$$.

Получим треугольник $$A_1B_1C_1$$, подобный треугольнику $$ABC$$, причём

$$S_{A_1B_1C_1}=2S_{ABC}.$$