Упр.732 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 8 класс, Просвещение: Докажите, что треугольники ABC и А1В1С1 подобны, если AB/A1B1=AC/A1C1=AD/A1D1, где AD и A1D1 — биссектрисы треугольников. В прямоугольном треугольнике ABC из точки М стороны АС проведён перпендикуляр МН к гипотенузе АВ. Докажите, что углы МНС и МВС равны.

Подробный ответ

1) Рассмотрим четырёхугольник $$BCMH$$. По условию $$\angle C=90^\circ$$ и $$MH\perp AB$$, значит $$\angle BHM=90^\circ$$.

Кроме того, точки $$B, H, A$$ лежат на одной прямой, а точки $$A, M, C$$ — на одной прямой. Тогда в четырёхугольнике $$BCMH$$ сумма противоположных углов равна $$180^\circ$$, следовательно, вокруг него можно описать окружность.

2) Тогда углы $$\angle MHC$$ и $$\angle MBC$$ — вписанные, опирающиеся на одну и ту же дугу $$MC$$. Значит, они равны:

$$\angle MHC=\angle MBC.$$

Что и требовалось доказать.