Упр.731 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Основание $$AD$$ равнобедренной трапеции $$ABCD$$ в 5 раз больше основания $$BC$$. Высота $$BH$$ пересекает диагональ $$AC$$ в точке $$M$$, площадь треугольника $$AMH$$ равна 4 см². Найдите площадь трапеции $$ABCD$$.
2. Докажите, что около выпуклого четырёхугольника, образованного при пересечении биссектрис углов трапеции, можно описать окружность.

Пусть $$BH$$ — высота трапеции, $$H\in AD$$, а диагональ $$AC$$ пересекает высоту $$BH$$ в точке $$M$$.

Проведём через $$C$$ прямую $$CK\perp AD$$, тогда $$HK=BC$$, так как $$BC\parallel AD$$ и $$BCKH$$ — прямоугольник.

Так как $$AD=5BC$$, то

$$AH=\frac{AD-HK}{2}=\frac{5BC-BC}{2}=2BC,$$

откуда

$$\frac{AH}{BC}=2.$$

Рассмотрим треугольники $$AMH$$ и $$CBM$$. У них

$$\angle AMH=\angle CMB$$ — вертикальные, а $$\angle A=\angle C$$ как накрест лежащие при $$AD\parallel BC$$. Значит, $$\triangle AMH\sim\triangle CBM$$.

Из подобия получаем

$$\frac{MH}{MB}=\frac{AH}{BC}=2,$$

следовательно, $$MH=2MB$$ и тогда

$$BH=MH+MB=\frac{3}{2}MH.$$

По условию

$$S_{AMH}=\frac12\cdot AH\cdot MH=4.$$

Так как $$AH=2BC$$, то

$$\frac12\cdot 2BC\cdot MH=4,$$

то есть

$$BC\cdot MH=4.$$

Теперь найдём площадь трапеции:

$$S_{ABCD}=\frac12(AD+BC)\cdot BH.$$

Подставим $$AD=5BC$$ и $$BH=\frac32 MH$$:

$$S_{ABCD}=\frac12(5BC+BC)\cdot \frac32 MH=4{,}5\cdot BC\cdot MH.$$

Так как $$BC\cdot MH=4$$, получаем

$$S_{ABCD}=4{,}5\cdot 4=18.$$

Ответ: $$18\text{ см}^2$$.