Упр.730 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 8 класс, Просвещение: Докажите, что медианы треугольника разбивают его на шесть треугольников, площади которых попарно равны. Через точки А и В проведены прямые, перпендикулярные к сторонам угла АОВ и пересекающиеся в точке С внутри угла. Докажите, что около четырёхугольника АСВО можно описать окружность.
1) Так как $$AP$$, $$BO$$ и $$CM$$ — медианы треугольника $$ABC$$, то по определению
$$BP=PC,\quad AO=OC,\quad AM=MB.$$
2) Обозначим площадь треугольника $$ABC$$ через $$S$$. Тогда треугольники $$ABO$$ и $$OBC$$ имеют общую высоту, опущенную из вершины $$B$$ на прямую $$AC$$, а их основания равны: $$AO=OC$$. Значит,
$$S_{ABO}=S_{OBC}=\frac{S}{2}.$$
Аналогично, треугольники $$ABP$$ и $$APC$$ имеют общую высоту из вершины $$A$$ к прямой $$BC$$, а основания равны: $$BP=PC$$. Следовательно,
$$S_{ABP}=S_{APC}=\frac{S}{2}.$$
Точно так же для треугольников $$AMC$$ и $$MBC$$, имеющих общую высоту к прямой $$AB$$ и равные основания $$AM=MB$$, получаем
$$S_{AMC}=S_{MBC}=\frac{S}{2}.$$
3) Теперь рассмотрим разложение площади треугольника $$ABC$$ на части:
$$S_{ABP}+S_{AMC}=S_{AME}+S_{EPC}.$$
Так как $$S_{ABP}=S_{AMC}=\frac{S}{2}$$, то
$$\frac{S}{2}+\frac{S}{2}=S_{AME}+S_{EPC},$$
откуда
$$S_{AME}=S_{EPC}.$$
4) Аналогично, из равенства площадей треугольников с общей высотой и равными основаниями получаем:
$$S_{AME}=S_{MBE},$$
$$S_{EBP}=S_{EPC},$$
$$S_{AEO}=S_{OEC}.$$
Следовательно, площади шести треугольников, на которые медианы разбивают треугольник, попарно равны.
Ответ
Медианы треугольника разбивают его на шесть треугольников, площади которых попарно равны.
Ход решения
Пусть $$AC \perp AO$$ и $$BC \perp BO$$, причём прямые $$AC$$ и $$BC$$ пересекаются в точке $$C$$ внутри угла $$AOB$$. Тогда
$$\angle OAC=90^\circ,\qquad \angle OBC=90^\circ.$$
Сумма углов четырёхугольника $$ACBO$$ равна $$360^\circ$$, поэтому
$$\angle AOB+\angle OAC+\angle OBC+\angle ACB=360^\circ.$$
Так как $$\angle OAC=\angle OBC=90^\circ$$, получаем
$$\angle AOB+\angle ACB=180^\circ.$$
Следовательно, сумма противоположных углов четырёхугольника $$ACBO$$ равна $$180^\circ$$, значит, около него можно описать окружность.
Ответ
Около четырёхугольника $$ACBO$$ можно описать окружность.
