Упр.729 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. В прямоугольной трапеции $$ABCD$$ с основаниями $$AD$$ и $$BC$$, $$\angle A=\angle B=90^\circ$$, $$\angle ACD=90^\circ$$, $$BC=4\text{ см}$$, $$AD=16\text{ см}$$. Найдите углы $$C$$ и $$D$$ трапеции.
2. Докажите, что если в четырёхугольнике сумма противоположных углов равна $$180^\circ$$, то около этого четырёхугольника можно описать окружность.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $$ABC$$ и $$ACD$$.

Так как $$\angle B=90^\circ$$ и $$\angle ACD=90^\circ,$$ а также $$\angle BCA=\angle CAD$$ как накрест лежащие при параллельных прямых $$BC \parallel AD,$$ то

$$\triangle ABC \sim \triangle ACD.$$

Из подобия получаем отношение соответствующих сторон:

$$\frac{AD}{AC}=\frac{AC}{BC}.$$

Подставим известные значения:

$$\frac{16}{AC}=\frac{AC}{4}.$$

Отсюда

$$AC^2=16\cdot 4=64,$$

значит

$$AC=8\text{ см}.$$

Найдём высоту $$CH$$, опущенную из точки $$C$$ на основание $$AD$$. В прямоугольном треугольнике $$ACH$$:

$$CH=\sqrt{AC^2-AH^2}=\sqrt{8^2-4^2}=\sqrt{64-16}=\sqrt{48}=4\sqrt{3}\text{ см}.$$

Так как $$AD=16\text{ см},$$ а $$AH=BC=4\text{ см},$$ то

$$HD=AD-AH=16-4=12\text{ см}.$$

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $$CHD$$:

$$CD=\sqrt{CH^2+HD^2}=\sqrt{(4\sqrt{3})^2+12^2}=\sqrt{48+144}=\sqrt{192}=8\sqrt{3}\text{ см}.$$

В этом треугольнике

$$\sin \angle D=\frac{CH}{CD}=\frac{4\sqrt{3}}{8\sqrt{3}}=\frac{1}{2},$$

значит

$$\angle D=30^\circ.$$

Так как в трапеции $$BC \parallel AD,$$ то односторонние углы при секущей $$CD$$ дополняют друг друга до $$180^\circ$$:

$$\angle C+\angle D=180^\circ.$$

Следовательно,

$$\angle C=180^\circ-30^\circ=150^\circ.$$

Ответ: $$\angle C=150^\circ,\ \angle D=30^\circ.$$