Упр.729 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 8 класс, Просвещение: В прямоугольной трапеции ABCD с основаниями AD и ВС угол А = угол В = 90°, угол ACD = 90°, ВС = 4 см, AD = 16 см. Найдите углы С и D трапеции. Докажите, что если в четырёхугольнике сумма противоположных углов равна 180°, то около этого четырёхугольника можно описать окружность.

Подробный ответ

1) Рассмотрим треугольники $$ABC$$ и $$ACD$$. Они прямоугольные, так как $$\angle B=\angle ACD=90^\circ$$.

Кроме того, $$\angle BCA=\angle CAD$$ как накрест лежащие при параллельных прямых $$BC \parallel AD$$ и секущей $$AC$$. Значит, $$\triangle ABC \sim \triangle ACD$$ по двум углам.

Из подобия получаем:

$$\frac{AD}{AC}=\frac{CD}{AB}=\frac{AC}{BC}.$$

Подставим известные значения:

$$\frac{16}{AC}=\frac{AC}{4}.$$

Отсюда

$$AC^2=16\cdot 4=64,$$

значит, $$AC=8\text{ см}.$$

2) Найдём высоту $$CH$$, опущенную из точки $$C$$ на основание $$AD$$. В прямоугольном треугольнике $$ACH$$:

$$CH=\sqrt{AC^2-AH^2}=\sqrt{8^2-4^2}=\sqrt{64-16}=\sqrt{48}=4\sqrt{3}\text{ см}.$$

3) Так как $$AD=16\text{ см}$$, а $$AH=BC=4\text{ см}$$, то

$$HD=AD-AH=16-4=12\text{ см}.$$

В прямоугольном треугольнике $$CHD$$:

$$CD=\sqrt{CH^2+HD^2}=\sqrt{(4\sqrt{3})^2+12^2}=\sqrt{48+144}=\sqrt{192}=8\sqrt{3}\text{ см}.$$

4) В треугольнике $$CHD$$

$$\frac{CH}{CD}=\frac{4\sqrt{3}}{8\sqrt{3}}=\frac12,$$

следовательно, угол, лежащий напротив стороны $$CH$$, равен $$30^\circ$$. Значит,

$$\angle D=30^\circ.$$

Так как в трапеции суммы односторонних углов при параллельных основаниях равны $$180^\circ$$, то

$$\angle C+\angle D=180^\circ,$$

откуда

$$\angle C=180^\circ-30^\circ=150^\circ.$$

5) Докажем утверждение об окружности. Пусть в четырёхугольнике $$ABCD$$

$$\angle A+\angle C=180^\circ.$$

Проведём окружность через точки $$A$$, $$B$$ и $$D$$. Докажем, что точка $$C$$ тоже лежит на этой окружности.

Предположим противное: точка $$C$$ не лежит на окружности. Тогда она лежит либо внутри, либо вне круга.

Если $$C$$ лежит внутри круга, то вписанный угол $$\angle C$$ больше половины соответствующей дуги $$ADB$$, а значит,

$$\angle C>\frac12\overset{\frown}{ADB}.$$

Но так как $$\angle A=\frac12\overset{\frown}{BD}$$, то

$$\angle A+\angle C>\frac12\left(\overset{\frown}{BD}+\overset{\frown}{ADB}\right)=\frac12\cdot 360^\circ=180^\circ,$$

что противоречит условию.

Если $$C$$ лежит вне круга, то аналогично получаем $$\angle A+\angle C<180^\circ$$, что тоже противоречит условию.

Следовательно, точка $$C$$ лежит на окружности, проходящей через $$A$$, $$B$$ и $$D$$. Значит, около четырёхугольника $$ABCD$$ можно описать окружность.