Упр.728 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- На стороне $$AD$$ параллелограмма $$ABCD$$ отмечена точка $$K$$ так, что $$AK=\frac{1}{4}KD$$. Диагональ $$AC$$ и отрезок $$BK$$ пересекаются в точке $$P$$. Найдите площадь параллелограмма $$ABCD$$, если площадь треугольника $$APK$$ равна $$1\text{ см}^2$$.
- Докажите, что если около ромба можно описать окружность, то этот ромб — квадрат.
Рассмотрим треугольники $$\triangle APK$$ и $$\triangle CBP$$.
У них $$\angle APK=\angle CPB$$ как вертикальные, а $$\angle AKP=\angle CBP$$, так как $$AK \parallel BC$$ и точки $$A, K, D$$ лежат на одной прямой, а также $$P \in AC$$. Значит, $$\triangle APK \sim \triangle CBP$$.
Из подобия получаем:
$$\frac{BP}{PK}=\frac{BC}{AK}.$$
По условию $$AK=\frac14 KD$$, значит
$$AK=\frac15 AD.$$
В параллелограмме $$AD=BC$$, поэтому
$$\frac{BC}{AK}=5,$$
следовательно,
$$\frac{BP}{PK}=5.$$
Треугольники $$APK$$ и $$APB$$ имеют общую высоту из точки $$A$$ к прямой $$BK$$, поэтому
$$\frac{S_{APB}}{S_{APK}}=\frac{BP}{PK}=5.$$
Тогда
$$S_{APB}=5\cdot S_{APK}=5\cdot 1=5\text{ см}^2.$$
Так как $$\triangle APK \sim \triangle CBP$$, коэффициент подобия равен $$5$$, значит отношение площадей равно $$25$$:
$$\frac{S_{CPB}}{S_{APK}}=25,$$
откуда
$$S_{CPB}=25\text{ см}^2.$$
Площадь треугольника $$ABC$$ равна
$$S_{ABC}=S_{APB}+S_{CPB}=5+25=30\text{ см}^2.$$
Диагональ параллелограмма делит его на два равновеликих треугольника, значит
$$S_{ABCD}=2S_{ABC}=2\cdot 30=60\text{ см}^2.$$
Ответ: $$60\text{ см}^2$$.
