Упр.727 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. В трапеции $$ABCD$$ с основаниями $$AD$$ и $$BC$$ сумма оснований равна $$b$$, диагональ $$AC$$ равна $$a$$, угол $$ACB = a$$. Найдите площадь трапеции.
2. В равнобедренный треугольник вписана окружность с центром $$O_1$$ и около него описана окружность с центром $$O_2$$. Докажите, что точки $$O_1$$ и $$O_2$$ лежат на серединном перпендикуляре к основанию треугольника.

Пусть $$C_1$$ — основание перпендикуляра, опущенного из точки $$C$$ на основание $$AD$$. Тогда $$CC_1$$ — высота трапеции.

Площадь трапеции равна

$$S_{ABCD}=\frac12(AD+BC)\cdot CC_1.$$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$ACC_1$$. В нём $$AC=a$$, а угол между диагональю $$AC$$ и основанием $$BC$$ равен $$\alpha$$, значит

$$\angle ACC_1=\alpha,$$

откуда

$$CC_1=AC\cdot \sin\alpha=a\sin\alpha.$$

По условию $$AD+BC=b$$. Подставим это и найденную высоту в формулу площади:

$$S_{ABCD}=\frac12\cdot b\cdot a\sin\alpha.$$

Ответ: $$\frac12ab\sin\alpha$$.