Упр.726 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. В треугольнике $$ABC$$ ($$AB \ne AC$$) через середину стороны $$BC$$ проведена прямая, параллельная биссектрисе угла $$A$$, которая пересекает прямые $$AB$$ и $$AC$$ соответственно в точках $$D$$ и $$E$$. Докажите, что $$BD = CE$$.
2. Центр описанной около треугольника окружности лежит на медиане. Докажите, что этот треугольник либо равнобедренный, либо прямоугольный.

Пусть через середину стороны $$BC$$ проведена прямая, параллельная биссектрисе угла $$A$$, и она пересекает прямые $$AB$$ и $$AC$$ в точках $$D$$ и $$E$$ соответственно.

Обозначим через $$M$$ середину отрезка $$BC$$. Тогда $$DM \parallel AE$$, а так как $$AE$$ — биссектриса угла $$A$$, то

$$\angle BAE=\angle EAC.$$

Из параллельности $$DM \parallel AE$$ получаем

$$\angle BDM=\angle BAE,\qquad \angle MDE=\angle EAC.$$

Следовательно,

$$\angle BDM=\angle MDE.$$

Значит, прямая $$DM$$ является биссектрисой угла $$BDE$$. Но точка $$M$$ — середина отрезка $$BC$$, поэтому в треугольниках $$BDM$$ и $$MEC$$ имеем:

$$\angle BMD=\angle CME$$ — вертикальные углы,

$$\angle BDM=\angle MEC$$ — как соответствующие при параллельных прямых $$DM \parallel AE$$,

а также $$BM=MC$$.

Отсюда треугольники $$BDM$$ и $$MEC$$ равны по стороне и двум прилежащим углам, значит, соответствующие стороны равны:

$$BD=CE.$$

Ответ: $$BD=CE$$.