Упр.725 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Биссектриса внешнего угла при вершине A треугольника ABC пересекает прямую BC в точке D. Докажите, что $$\frac{BD}{AB}=\frac{DC}{AC}$$.
2. Найдите радиус окружности, вписанной в прямоугольную трапецию с основаниями $$a$$ и $$b$$.

Проведём высоту $$CH$$, где $$CH=2r$$.

Тогда $$HD=AD-AH=AD-BC=b-a.$$

Так как в четырёхугольник можно вписать окружность, то суммы противоположных сторон равны:

$$CD+BA=BC+AD.$$

Отсюда

$$CD=BA+AD-BC=AB+b-a.$$

По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника $$CHD$$ имеем:

$$CD^2=CH^2+HD^2.$$

Подставим найденные выражения:

$$(a+b-2r)^2=(2r)^2+(b-a)^2.$$

Раскроем скобки:

$$a^2+2ab-4ar-4br+b^2+4r^2=4r^2+b^2-2ab+a^2.$$

Сократим одинаковые слагаемые:

$$2ab-4ar-4br=-2ab,$$

$$4ab-4ar-4br=0.$$

Вынесем общий множитель:

$$4ab-4r(a+b)=0,$$

$$r(a+b)=ab.$$

Следовательно,

$$r=\frac{ab}{a+b}.$$

Ответ

$$r=\frac{ab}{a+b}$$