Упр.723 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Докажите, что середины сторон ромба являются вершинами прямоугольника.
Докажите, что если прямые, содержащие основания трапеции, касаются окружности, то прямая, проходящая через середины боковых сторон трапеции, проходит через центр этой окружности.

Подробный ответ

Рассмотрим трапецию $$ABCD$$, у которой прямые $$BC$$ и $$AD$$ касаются окружности в точках $$E$$ и $$N$$ соответственно. Пусть $$F$$ и $$K$$ — середины боковых сторон $$AB$$ и $$CD$$.

Ход решения

1) Так как $$BC$$ — касательная к окружности в точке $$E$$, то радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной:

$$OE \perp BC.$$

Аналогично, поскольку $$AD$$ — касательная в точке $$N$$, имеем

$$ON \perp AD.$$

2) По определению трапеции $$AD \parallel BC$$. Тогда прямые, перпендикулярные параллельным прямым, также параллельны, значит

$$OE \parallel ON.$$

Следовательно, точки $$E, O, N$$ лежат на одной прямой.

3) Так как $$F$$ и $$K$$ — середины боковых сторон трапеции, то $$FK$$ — средняя линия трапеции. Поэтому

$$FK \parallel BC \parallel AD.$$

Но прямая $$EN$$ совпадает с прямой $$EO$$ и $$ON$$, а значит $$EN \perp BC$$ и $$EN \perp AD$$. Следовательно, $$FK \perp EN$$.

4) Прямая $$FK$$ проходит через середины боковых сторон, а прямая $$EN$$ проходит через центр окружности. Так как $$FK \parallel BC \parallel AD$$ и $$O \in EN$$, то центр окружности лежит на прямой, проходящей через середины боковых сторон трапеции.

Итак, прямая $$FK$$ проходит через центр окружности $$O$$.