Упр.722 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Докажите, что вершины треугольника равноудалены от прямой, содержащей его среднюю линию.
2. Четырёхугольник $$ABCD$$ описан около окружности радиуса $$r$$. Известно, что $$AB:CD=2:3$$, $$AD:BC=2:1$$. Найдите стороны четырёхугольника, если его площадь равна $$S$$.

Так как четырёхугольник описан около окружности радиуса $$r$$, то его площадь выражается формулой

$$S=pr,$$

где $$p$$ — полупериметр четырёхугольника. Значит,

$$AB+BC+CD+AD=2p=\frac{2S}{r}.$$

Для описанного четырёхугольника суммы противоположных сторон равны:

$$AB+CD=BC+AD.$$

По условию

$$AB:CD=2:3,$$

пусть $$AB=2x,$$ $$CD=3x.$$ Тогда

$$AB+CD=5x.$$

Но $$AB+CD=BC+AD$$, а также

$$AB+BC+CD+AD=\frac{2S}{r}.$$

Следовательно,

$$2(AB+CD)=\frac{2S}{r},$$

то есть

$$AB+CD=\frac{S}{r}.$$

Тогда

$$5x=\frac{S}{r}, \qquad x=\frac{S}{5r}.$$

Отсюда

$$AB=2x=\frac{2S}{5r}, \qquad CD=3x=\frac{3S}{5r}.$$

Теперь используем отношение

$$AD:BC=2:1.$$

Пусть $$AD=2y,$$ $$BC=y.$$ Тогда

$$AD+BC=3y.$$

Но из равенства противоположных сторон

$$AB+CD=BC+AD,$$

получаем

$$AD+BC=\frac{S}{r}.$$

Значит,

$$3y=\frac{S}{r}, \qquad y=\frac{S}{3r}.$$

Следовательно,

$$BC=\frac{S}{3r}, \qquad AD=\frac{2S}{3r}.$$

Ответ

$$AB=\frac{2S}{5r}, \quad CD=\frac{3S}{5r}, \quad BC=\frac{S}{3r}, \quad AD=\frac{2S}{3r}.$$