Упр.721 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Отрезок с концами на боковых сторонах трапеции параллелен её основаниям и проходит через точку пересечения диагоналей. Найдите длину этого отрезка, если основания трапеции равны $$a$$ и $$b$$.
2. Докажите, что если в прямоугольник можно вписать окружность, то этот прямоугольник — квадрат.

Если в прямоугольник можно вписать окружность, то эта окружность касается всех четырёх сторон прямоугольника. Тогда суммы длин противоположных сторон равны:

$$AB+CD=BC+AD.$$

Но в прямоугольнике противоположные стороны равны, значит

$$AB=CD,\qquad BC=AD.$$

Подставим это в равенство:

$$AB+AB=BC+BC,$$

откуда

$$2AB=2BC,$$

следовательно,

$$AB=BC.$$

Значит, у прямоугольника соседние стороны равны, а это означает, что он является квадратом.

Ответ: прямоугольник — квадрат.