Упр.720 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Диагонали прямоугольной трапеции $$ABCD$$ с прямым углом $$A$$ взаимно перпендикулярны. Основание $$AB$$ равно $$6\ \text{см}$$, а боковая сторона $$AD$$ равна $$4\ \text{см}$$. Найдите $$DC$$, $$DB$$ и $$CB$$.
2. Может ли вершина разностороннего треугольника лежать на серединном перпендикуляре к какой-либо стороне? Ответ обоснуйте.

Рассмотрим прямоугольную трапецию $$ABCD$$ с прямым углом $$A$$. Тогда $$AD \perp AB$$, а диагонали $$AC$$ и $$BD$$ взаимно перпендикулярны.

1) Найдём диагональ $$BD$$ из прямоугольного треугольника $$ADB$$:

$$BD=\sqrt{AD^2+AB^2}=\sqrt{4^2+6^2}=\sqrt{16+36}=2\sqrt{13}\text{ см}.$$

2) Рассмотрим треугольники $$ADC$$ и $$BAD$$. У них

$$\angle D=90^\circ=\angle A,$$

а также $$\angle ADB=\angle ACD$$, поэтому $$\triangle ADC \sim \triangle BAD$$.

Из подобия получаем:

$$\frac{DC}{AD}=\frac{AD}{BA}.$$

Тогда

$$DC=\frac{AD^2}{AB}=\frac{4^2}{6}=\frac{16}{6}=\frac{8}{3}=2\frac{2}{3}\text{ см}.$$

3) Найдём $$AC$$:

$$\frac{AC}{BD}=\frac{AD}{BA}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3},$$

значит

$$AC=\frac{2}{3}\cdot 2\sqrt{13}=\frac{4\sqrt{13}}{3}\text{ см}.$$

4) В прямоугольном треугольнике $$CHB$$:

$$CH=AD=4\text{ см}, \qquad HB=AB-AH.$$

Из подобия треугольников следует, что

$$AH=DC=2\frac{2}{3}\text{ см},$$

поэтому

$$HB=6-\frac{8}{3}=\frac{10}{3}\text{ см}.$$

Тогда

$$CB=\sqrt{CH^2+HB^2}=\sqrt{4^2+\left(\frac{10}{3}\right)^2} =\sqrt{16+\frac{100}{9}} =\sqrt{\frac{244}{9}} =\frac{2}{3}\sqrt{61}\text{ см}.$$

Ответ: $$DC=\frac{8}{3}\text{ см},\quad DB=2\sqrt{13}\text{ см},\quad CB=\frac{2}{3}\sqrt{61}\text{ см}.$$