Упр.719 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Докажите, что треугольники \(ABC\) и \(A_1B_1C_1\) подобны, если:
а) $$\frac{AB}{A_1B_1}=\frac{AC}{A_1C_1}=\frac{BM}{B_1M_1}$$, где \(BM\) и \(B_1M_1\) — медианы треугольников;
б) $$\angle A=\angle A_1$$, $$\frac{AC}{A_1C_1}=\frac{BH}{B_1H_1}$$, где \(BH\) и \(B_1H_1\) — высоты треугольников \(ABC\) и \(A_1B_1C_1\). - Через точку, лежащую вне окружности, проведены две секущие. Докажите, что угол между ними измеряется полуразностью дуг, заключённых внутри угла.
а)
Рассмотрим треугольники $$ABM$$ и $$A_1B_1M_1$$. Так как $$BM$$ и $$B_1M_1$$ — медианы, то
$$AM=\frac12 AC,\qquad A_1M_1=\frac12 A_1C_1.$$
По условию
$$\frac{AB}{A_1B_1}=\frac{AC}{A_1C_1}=\frac{BM}{B_1M_1}.$$
Тогда
$$\frac{AB}{A_1B_1}=\frac{BM}{B_1M_1}=\frac{AM}{A_1M_1},$$
значит, $$\triangle ABM \sim \triangle A_1B_1M_1$$ по трём сторонам.
Отсюда $$\angle A=\angle A_1$$.
Теперь в треугольниках $$ABC$$ и $$A_1B_1C_1$$ имеем
$$\angle A=\angle A_1,\qquad \frac{AB}{A_1B_1}=\frac{AC}{A_1C_1}.$$
Следовательно, $$\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1$$ по двум сторонам и углу между ними.
б)
Рассмотрим треугольники $$ABH$$ и $$A_1B_1H_1$$. Так как $$BH$$ и $$B_1H_1$$ — высоты, то
$$\angle BHA=\angle B_1H_1A_1=90^\circ.$$
По условию $$\angle A=\angle A_1$$, значит, $$\triangle ABH \sim \triangle A_1B_1H_1$$ по двум углам.
Отсюда
$$\frac{AB}{A_1B_1}=\frac{BH}{B_1H_1}=\frac{AH}{A_1H_1}.$$
Так как по условию
$$\frac{AC}{A_1C_1}=\frac{BH}{B_1H_1},$$
то
$$\frac{AB}{A_1B_1}=\frac{AC}{A_1C_1}.$$
Следовательно, $$\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1$$ по двум сторонам и углу между ними.
