Упр.718 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Два шеста $$AB$$ и $$CD$$ разной длины $$a$$ и $$b$$ установлены вертикально на некотором расстоянии друг от друга так, как показано на рисунке 210. Концы $$A$$ и $$D$$, $$B$$ и $$C$$ соединены верёвками, которые пересекаются в точке $$O$$. По данным рисунка докажите, что:
а) $$\frac{m}{d}=\frac{x}{b}$$ и $$\frac{n}{d}=\frac{x}{a}$$;
б) $$\frac{x}{a}+\frac{x}{b}=1$$.
Найдите $$x$$ и докажите, что $$x$$ не зависит от расстояния $$d$$ между шестами $$AB$$ и $$CD$$. - По данным рисунка 237 докажите, что $$\angle AMB=\frac{1}{2}\left(\angle CLD+\angle AKB\right)$$.
Рассмотрим треугольники $$\triangle ADC$$ и $$\triangle AOK$$.
У них $$\angle A$$ — общий, а $$\angle OKA=\angle DCA=90^\circ$$, значит, $$\triangle ADC \sim \triangle AOK$$ по двум углам.
Отсюда
$$\frac{DC}{OK}=\frac{AC}{AK}.$$
Так как $$DC=b$$, $$OK=x$$, $$AC=d$$, $$AK=m$$, то
$$\frac{b}{x}=\frac{d}{m}, \qquad \frac{m}{d}=\frac{x}{b}.$$
Это и требовалось доказать.
Теперь рассмотрим треугольники $$\triangle ABC$$ и $$\triangle KOC$$.
У них $$\angle C$$ — общий, а $$\angle BAC=\angle OKC=90^\circ$$, значит, $$\triangle ABC \sim \triangle KOC$$ по двум углам.
Следовательно,
$$\frac{AB}{OK}=\frac{AC}{KC}.$$
Так как $$AB=a$$, $$OK=x$$, $$AC=d$$, $$KC=n$$, получаем
$$\frac{a}{x}=\frac{d}{n}, \qquad \frac{n}{d}=\frac{x}{a}.$$
Это также требовалось доказать.
Теперь сложим равенства:
$$\frac{x}{a}+\frac{x}{b}=\frac{n}{d}+\frac{m}{d}=\frac{n+m}{d}.$$
Но $$n+m=AC=d$$, значит,
$$\frac{x}{a}+\frac{x}{b}=1.$$
Отсюда
$$x\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)=1,$$
$$x\cdot \frac{a+b}{ab}=1,$$
$$x=\frac{ab}{a+b}.$$
Следовательно, $$x$$ не зависит от расстояния $$d$$ между шестами.
Ответ: $$x=\frac{ab}{a+b}.$$
