Упр.717 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Докажите, что медиана $$AM$$ треугольника $$ABC$$ делит пополам любой отрезок, параллельный стороне $$BC$$, концы которого лежат на сторонах $$AB$$ и $$AC$$.
- Отрезок $$AB$$ является диаметром окружности, а хорды $$BC$$ и $$AD$$ параллельны. Докажите, что хорда $$CD$$ является диаметром.
Рассмотрим хорды $$BC$$ и $$AD$$. Так как $$AB$$ — диаметр окружности, то углы $$\angle ADB$$ и $$\angle ACB$$ опираются на диаметр $$AB$$, значит
$$\angle ADB=\angle ACB=90^\circ.$$
Кроме того, по условию $$BC \parallel AD$$, поэтому
$$\angle DAB=\angle ABC$$
как накрест лежащие при параллельных прямых $$AD$$ и $$BC$$.
Рассмотрим вписанные углы $$\angle DAB$$ и $$\angle ABC$$. Они опираются соответственно на дуги $$DB$$ и $$AC$$, значит
$$\angle DAB=\frac{1}{2}\overset{\frown}{DB}, \qquad \angle ABC=\frac{1}{2}\overset{\frown}{AC}.$$
Из равенства этих углов получаем
$$\overset{\frown}{DB}=\overset{\frown}{AC}.$$
Теперь рассмотрим вписанные углы $$\angle ADC$$ и $$\angle DCB$$. Они опираются на дуги $$AC$$ и $$DB$$, поэтому
$$\angle ADC=\frac{1}{2}\overset{\frown}{AC}, \qquad \angle DCB=\frac{1}{2}\overset{\frown}{DB}.$$
Так как $$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{DB}$$, то
$$\angle ADC=\angle DCB.$$
Следовательно, равны соответствующие углы при секущей $$DC$$ и параллельных прямых $$AD$$ и $$BC$$, значит прямые $$AD$$ и $$BC$$ симметричны относительно серединного перпендикуляра к $$DC$$. Тогда центр окружности лежит на этом перпендикуляре, а точки $$A$$ и $$B$$, как концы диаметра, расположены симметрично относительно него. Отсюда следует, что точки $$D$$ и $$C$$ лежат на одной прямой с центром окружности, то есть $$CD$$ проходит через центр окружности.
Значит, хорда $$CD$$ является диаметром окружности.
Ответ: $$CD$$ — диаметр.
