Упр.716 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Прямая, параллельная стороне $$AB$$ треугольника $$ABC$$, делит сторону $$AC$$ в отношении $$2:7$$, считая от вершины $$A$$. Найдите стороны отсечённого треугольника, если $$AB=10\text{ см}$$, $$BC=18\text{ см}$$, $$CA=21{,}6\text{ см}$$.
2. Точки $$A$$, $$B$$, $$C$$ и $$D$$ лежат на окружности. Докажите, что если $$AB=CD$$, то $$AB=CD$$.

Пусть прямая, параллельная стороне $$AB$$, пересекает стороны $$AC$$ и $$BC$$ в точках $$D$$ и $$E$$ соответственно. Тогда $$DE \parallel AB$$, значит, треугольники $$CDE$$ и $$CBA$$ подобны.

По условию $$AD:DC=2:7$$, поэтому

$$\frac{AD}{DC}=\frac{2}{7}.$$

Обозначим $$AD=x$$. Тогда $$DC=21{,}6-x$$, и

$$\frac{x}{21{,}6-x}=\frac{2}{7}.$$

Решим уравнение:

$$7x=2(21{,}6-x)$$

$$7x=43{,}2-2x$$

$$9x=43{,}2$$

$$x=4{,}8.$$

Следовательно,

$$CD=21{,}6-4{,}8=16{,}8\text{ см}.$$

Теперь найдём $$CE$$. Так как $$DE \parallel AB$$, то

$$\frac{CE}{BE}=\frac{CD}{DA}=\frac{7}{2}.$$

Пусть $$BE=y$$. Тогда $$CE=18-y$$, и

$$\frac{18-y}{y}=\frac{7}{2}.$$

Отсюда

$$2(18-y)=7y$$

$$36-2y=7y$$

$$9y=36$$

$$y=4.$$

Значит,

$$CE=18-4=14\text{ см}.$$

Для стороны $$ED$$ используем подобие треугольников $$CDE$$ и $$CBA$$:

$$\frac{ED}{BA}=\frac{CD}{CA}.$$

Тогда

$$\frac{ED}{10}=\frac{16{,}8}{21{,}6}=\frac{7}{9},$$

откуда

$$ED=10\cdot \frac{7}{9}=\frac{70}{9}=7\frac{7}{9}\text{ см}.$$

Ответ: $$ED=7\frac{7}{9}\text{ см},\; CD=16{,}8\text{ см},\; CE=14\text{ см}.$$